Exercices corrigés : Suites numériques et modèles — Terminale STMG

Correction détaillée

1. 1

   Méthode : on teste D'ABORD les différences (suite arithmétique), PUIS les quotients (suite géométrique), et toujours sur tous les couples disponibles.

2. 2

   a) Différences : $1560-1500=60$1 560 - 1 500 = 60, puis $60$60, puis $60$60.

   Constantes : suite ARITHMÉTIQUE de raison $r=60$r = 60.

3. 3

   b) Différences : $40$40, $42$42, $44,1$44,1 — non constantes.

   Quotients : $\frac{840}{800}=1,05$840/800 = 1,05, $\frac{882}{840}=1,05$882/840 = 1,05, $\frac{926,1}{882}=1,05$926,1/882 = 1,05.

   Suite GÉOMÉTRIQUE de raison $q=1,05$q = 1,05.

4. 4

   On reconnaît le coefficient multiplicateur d'une hausse de $5\%$5 % par période.

5. 5

   c) Quotients : $\frac{1900}{2000}=0,95$(1 900)/(2 000) = 0,95, $\frac{1805}{1900}=0,95$(1 805)/(1 900) = 0,95, $\frac{1714,75}{1805}=0,95$(1 714,75)/(1 805) = 0,95.

   Suite GÉOMÉTRIQUE de raison $q=0,95$q = 0,95, soit une baisse de $5\%$5 % par période.

6. 6

   d) Différences : $3$3, $5$5, $7$7 — non constantes.

   Quotients : $1,6$1,6 ; $1,625$1,625 ; $\approx 1,538$≈ 1,538 — non constants.

   La suite n'est NI arithmétique NI géométrique.

7. 7

   Traduction en gestion : a) un montant fixe s'ajoute chaque période (indexation forfaitaire) ; b) et c) un taux fixe s'applique ($+5\%$+5 % et $-5\%$-5 %) ; d) aucun modèle simple ne convient.

8. 8

   Réflexe à installer : « on AJOUTE toujours la même chose » $\Rightarrow$⇒ arithmétique ; « on MULTIPLIE toujours par la même chose » $\Rightarrow$⇒ géométrique.

Rappel de cours : Arithmétique : $u_{n+1}=u_n+r$uₙ₊₁ = uₙ + r. Géométrique : $u_{n+1}=q\times u_n$uₙ₊₁ = q × uₙ, avec $q=1+\frac{t}{100}$q = 1 + t/100.

Erreur fréquente : Conclure sur un seul quotient. En d), le premier vaut $1,6$1,6 : s'arrêter là ferait annoncer à tort une suite géométrique.

Correction détaillée

1. 1

   L'augmentation est un MONTANT fixe : la suite est arithmétique de raison $r=55$r = 55.

2. 2

   Terme général : $u_n=u_0+n\times r=1850+55n$uₙ = u₀ + n × r = 1 850 + 55n.

3. 3

   Au bout de $10$10 ans : $u_{10}=1850+55\times 10=1850+550=2400$u₁₀ = 1 850 + 55 × 10 = 1 850 + 550 = 2 400 €.

4. 4

   Pour la troisième question, on résout $1850+55n>2500$1 850 + 55n > 2 500.

5. 5

   $55n>650$55n > 650, donc $n>\frac{650}{55}\approx 11,82$n > 650/55 ≈ 11,82.

6. 6

   Comme $n$n est un nombre entier d'années, le premier rang qui convient est $n=12$n = 12.

7. 7

   Vérification : $u_{11}=1850+605=2455$u₁₁ = 1 850 + 605 = 2 455 € (insuffisant) et $u_{12}=1850+660=2510$u₁₂ = 1 850 + 660 = 2 510 € (dépasse) ✔.

8. 8

   Le salaire dépasse donc $2500$2 500 € au bout de $12$12 ans.

9. 9

   Attention à ne pas arrondir $11,82$11,82 à $12$12 « parce que c'est plus proche » : on prend l'entier SUPÉRIEUR parce qu'il faut dépasser le seuil, et $n=11$n = 11 ne suffit pas.

Rappel de cours : $u_n=u_0+nr$uₙ = u₀ + nr. Un seuil se franchit au premier ENTIER qui vérifie l'inéquation.

Erreur fréquente : Écrire $u_n=1850+55(n-1)$uₙ = 1 850 + 55(n-1) alors que la suite commence à $u_0$u₀. Cette forme ne vaut que si le premier terme est $u_1$u₁.

Correction détaillée

1. 1

   Un taux de $3\%$3 % capitalisé donne le coefficient multiplicateur $1,03$1,03 chaque année.

2. 2

   Relation de récurrence : $C_{n+1}=1,03\times C_n$Cₙ₊₁ = 1,03 × Cₙ.

   C'est une suite géométrique de raison $q=1,03$q = 1,03.

3. 3

   Terme général : $C_n=C_0\times q^n=12000\times 1,03^n$Cₙ = C₀ × q^(n) = 12 000 × 1,03^(n).

4. 4

   Au bout de $10$10 ans : $1,03^{10}\approx 1,343916$1,03¹⁰ ≈ 1,343916.

5. 5

   $C_{10}\approx 12000\times 1,343916\approx 16127,00$C₁₀ ≈ 12 000 × 1,343916 ≈ 16 127,00 €.

6. 6

   Le capital a donc gagné environ $4127$4 127 € d'intérêts en dix ans.

7. 7

   Pour le doublement, on cherche le plus petit entier $n$n tel que $12000\times 1,03^n>24000$12 000 × 1,03^(n) > 24 000, c'est-à-dire $1,03^n>2$1,03^(n) > 2.

8. 8

   On balaie au tableur ou à la calculatrice : $1,03^{23}\approx 1,9736$1,03²³ ≈ 1,9736 (insuffisant) et $1,03^{24}\approx 2,0328$1,03²⁴ ≈ 2,0328 (dépasse).

9. 9

   Le capital double donc au bout de $24$24 ans.

10. 10

    Contrôle de vraisemblance : à $3\%$3 % par an, doubler en $24$24 ans est cohérent — l'ordre de grandeur bien connu des gestionnaires est « $70$70 divisé par le taux », soit environ $23$23 ans ici. ✔

11. 11

    Remarque : $12000\times 1,03^{24}\approx 24394$12 000 × 1,03²⁴ ≈ 24 394 €, on dépasse bien les $24000$24 000 € visés.

Rappel de cours : $C_n=C_0\times q^n$Cₙ = C₀ × q^(n). Les intérêts composés forment toujours une suite géométrique.

Erreur fréquente : Croire qu'à $3\%$3 % par an on double en $33$33 ans ($100÷3$100 ÷ 3). Ce serait vrai avec des intérêts SIMPLES, pas composés.

Correction détaillée

1. 1

   Pour une suite arithmétique, tout se lit sur le signe de la raison $r$r : $r>0$r > 0 donne une suite croissante, $r<0$r < 0 une suite décroissante.

2. 2

   Pour une suite géométrique à termes positifs, tout se lit sur $q$q : $q>1$q > 1 donne une suite croissante, $0<q<1$0 < q < 1 une suite décroissante.

3. 3

   a) $u_n=2400-75n$uₙ = 2 400 - 75n est arithmétique de raison $r=-75<0$r = -75 < 0 : suite DÉCROISSANTE.

   Le véhicule perd $75$75 € de valeur par période.

4. 4

   b) $v_n=500\times 1,08^n$vₙ = 500 × 1,08^(n) est géométrique de raison $q=1,08>1$q = 1,08 > 1, avec $v_0=500>0$v₀ = 500 > 0 : suite CROISSANTE.

   Le chiffre d'affaires progresse de $8\%$8 % par période.

5. 5

   c) $w_n=900\times 0,85^n$wₙ = 900 × 0,85^(n) est géométrique de raison $q=0,85$q = 0,85, comprise entre $0$0 et $1$1 : suite DÉCROISSANTE.

   Le stock perd $15\%$15 % par période.

6. 6

   d) $t_n=120+45n$tₙ = 120 + 45n est arithmétique de raison $r=45>0$r = 45 > 0 : suite CROISSANTE.

7. 7

   Vérification rapide sur les premiers termes de c) : $w_0=900$w₀ = 900, $w_1=765$w₁ = 765, $w_2=650,25$w₂ = 650,25 — cela décroît bien ✔.

8. 8

   Attention à une nuance importante : la règle sur $q$q suppose le premier terme POSITIF.

   Avec un premier terme négatif, tout s'inverse.

Rappel de cours : Arithmétique : signe de $r$r. Géométrique à termes positifs : position de $q$q par rapport à $1$1.

Erreur fréquente : Dire que $w_n=900\times 0,85^n$wₙ = 900 × 0,85^(n) croît parce que $n$n augmente. C'est le coefficient $0,85<1$0,85 < 1 qui commande, et il fait décroître.

Correction détaillée

1. 1

   La suite est arithmétique de raison $r=15$r = 15, avec un premier terme $u_1=120$u₁ = 120.

2. 2

   Comme la suite démarre au rang $1$1, le terme général s'écrit $u_n=u_1+(n-1)\times r=120+15(n-1)$uₙ = u₁ + (n-1) × r = 120 + 15(n-1).

3. 3

   Douzième mois : $u_{12}=120+15\times 11=120+165=285$u₁₂ = 120 + 15 × 11 = 120 + 165 = 285 articles.

4. 4

   Pour le total, on utilise la somme des termes d'une suite arithmétique : $S=\text{nombre de termes}\times \frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$S = nombre de termes × (premier + dernier)/2.

5. 5

   Il y a $12$12 termes, le premier vaut $120$120 et le dernier $285$285.

6. 6

   $S=12\times \frac{120+285}{2}=12\times \frac{405}{2}=12\times 202,5$S = 12 × (120 + 285)/2 = 12 × 405/2 = 12 × 202,5.

7. 7

   $S=2430$S = 2 430 articles vendus sur l'année.

8. 8

   Contrôle de vraisemblance : la vente moyenne mensuelle est $202,5$202,5 articles, soit exactement la moyenne entre le premier et le dernier mois — c'est ce que dit la formule, et c'est propre aux suites arithmétiques ✔.

9. 9

   Autre contrôle : $12\times 120=1440$12 × 120 = 1 440 au minimum, $12\times 285=3420$12 × 285 = 3 420 au maximum.

   Le total $2430$2 430 est bien entre les deux ✔.

Rappel de cours : $S=n\times \frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}$S = n × (premier terme + dernier terme)/2. Il faut connaître le dernier terme AVANT de sommer.

Erreur fréquente : Compter $12$12 termes puis utiliser $u_{11}$u₁₁ comme dernier terme. Si la suite commence à $u_1$u₁, le douzième terme est $u_{12}$u₁₂.

Correction détaillée

1. 1

   La suite est géométrique de raison $q=1,06$q = 1,06, de premier terme $u_0=30000$u₀ = 30 000 (première année).

2. 2

   En notant $u_0$u₀ la première année, la huitième année correspond à $u_7$u₇.

3. 3

   $u_7=30000\times 1,06^7$u₇ = 30 000 × 1,06⁷.

   Or $1,06^7\approx 1,503630$1,06⁷ ≈ 1,503630.

4. 4

   $u_7\approx 45109$u₇ ≈ 45 109 €.

5. 5

   Pour le cumul, on somme $8$8 termes consécutifs d'une suite géométrique : $S=u_0\times \frac{1-q^8}{1-q}$S = u₀ × (1 - q^(8))/(1 - q).

6. 6

   Avec $q=1,06$q = 1,06, il est plus commode d'écrire $S=u_0\times \frac{q^8-1}{q-1}$S = u₀ × (q^(8) - 1)/(q - 1) — c'est la même chose, sans signes négatifs.

7. 7

   $1,06^8\approx 1,593848$1,06⁸ ≈ 1,593848, donc $\frac{1,593848-1}{0,06}=\frac{0,593848}{0,06}\approx 9,897467$(1,593848 - 1)/0,06 = 0,593848/0,06 ≈ 9,897467.

8. 8

   $S\approx 30000\times 9,897467\approx 296924$S ≈ 30 000 × 9,897467 ≈ 296 924 €.

9. 9

   Contrôle de vraisemblance : huit années à $30000$30 000 € auraient donné $240000$240 000 €.

   Avec la croissance, on obtient $296924$296 924 €, soit environ $24\%$24 % de plus.

   C'est cohérent ✔.

10. 10

    Autre contrôle : le cumul doit être compris entre $8\times 30000=240000$8 × 30 000 = 240 000 et $8\times 45109=360872$8 × 45 109 = 360 872 €.

    C'est le cas ✔.

11. 11

    Attention au nombre de termes : de $u_0$u₀ à $u_7$u₇, il y a $8$8 termes, donc l'exposant de la formule est $8$8, pas $7$7.

Rappel de cours : $S=u_0\times \frac{q^N-1}{q-1}$S = u₀ × (q^(N) - 1)/(q - 1), où $N$N est le NOMBRE DE TERMES sommés (et non le dernier rang).

Erreur fréquente : Utiliser l'exposant $7$7 dans la somme parce que le dernier terme est $u_7$u₇. Il y a $8$8 termes de $u_0$u₀ à $u_7$u₇.

Correction détaillée

1. 1

   Trois nombres $a$a, $b$b, $c$c sont consécutifs dans une suite arithmétique si $b=\frac{a+c}{2}$b = (a + c)/2, dans une suite géométrique (termes positifs) si $b=\sqrt{ac}$b = √(ac).

2. 2

   Pour $12$12 ; $18$18 ; $24$24 : $\frac{12+24}{2}=18$(12 + 24)/2 = 18, suite arithmétique de raison $6$6.

   Mais $\sqrt{12\times 24}=\sqrt{288}\approx 16,97\ne 18$√(12 × 24) = √(288) ≈ 16,97 ≠ 18 : pas géométrique.

3. 3

   Pour $12$12 ; $18$18 ; $27$27 : $\frac{12+27}{2}=19,5\ne 18$(12 + 27)/2 = 19,5 ≠ 18, pas arithmétique ; $\sqrt{12\times 27}=\sqrt{324}=18$√(12 × 27) = √(324) = 18, suite géométrique de raison $1,5$1,5.

4. 4

   Avec un pourcentage constant, les populations sont en progression géométrique : la population de 2020 est la moyenne géométrique $\sqrt{50000\times 54080}=52000$√(50 000 × 54 080) = 52 000 habitants.

5. 5

   Le coefficient annuel vaut $\frac{52000}{50000}=1,04$(52 000)/(50 000) = 1,04 : $+4\%$+4 % par an.

Rappel de cours : Moyenne arithmétique $\frac{a+c}{2}$(a + c)/2 pour une suite arithmétique ; moyenne géométrique $\sqrt{ac}$√(ac) pour une suite géométrique.

Erreur fréquente : Estimer la population de 2020 par la moyenne arithmétique ($52040$52 040) alors que l'évolution est en pourcentage.

Correction détaillée

1. 1

   Suite géométrique de raison $q=1,025$q = 1,025 : $C_n=8000\times 1,025^n$Cₙ = 8 000 × 1,025^(n).

2. 2

   On cherche le plus petit entier $n$n tel que $8000\times 1,025^n>12000$8 000 × 1,025^(n) > 12 000, c'est-à-dire $1,025^n>1,5$1,025^(n) > 1,5.

3. 3

   Sans logarithme, on procède par balayage — c'est exactement ce que fait un tableur.

4. 4

   $n=15$n = 15 : $1,025^{15}\approx 1,44830$1,025¹⁵ ≈ 1,44830, soit $C_{15}\approx 11586$C₁₅ ≈ 11 586 € — insuffisant.

5. 5

   $n=16$n = 16 : $1,025^{16}\approx 1,48451$1,025¹⁶ ≈ 1,48451, soit $C_{16}\approx 11876$C₁₆ ≈ 11 876 € — encore insuffisant.

6. 6

   $n=17$n = 17 : $1,025^{17}\approx 1,52162$1,025¹⁷ ≈ 1,52162, soit $C_{17}\approx 12173$C₁₇ ≈ 12 173 € — le seuil est dépassé.

7. 7

   Le capital dépasse donc $12000$12 000 € au bout de $17$17 ans.

8. 8

   Formule de tableur : en $B3$B3 on saisit $=B2\ast 1,025$= B2*1,025, puis on recopie la formule vers le bas.

9. 9

   On peut aussi écrire directement $=8000\ast 1,025\hat{}A3$= 8000*1,025 ̂A3 si la colonne $A$A contient les rangs — les deux méthodes donnent la même colonne.

10. 10

    Remarque de rédaction : au bac, on attend soit le tableau de valeurs autour du seuil ($n=16$n = 16 et $n=17$n = 17), soit la formule de tableur.

    Une réponse sans justification numérique ne rapporte pas les points.

Rappel de cours : Un seuil en STMG se cherche par BALAYAGE : on encadre le rang cherché par deux valeurs, l'une en dessous, l'autre au-dessus.

Erreur fréquente : Donner $n=16$n = 16 parce que $11876$11 876 € est « presque » $12000$12 000 €. Le seuil doit être STRICTEMENT dépassé.

Correction détaillée

1. 1

   On teste les différences : $1320-1200=120$1 320 - 1 200 = 120 ; $1452-1320=132$1 452 - 1 320 = 132 ; $1597-1452=145$1 597 - 1 452 = 145.

2. 2

   Elles augmentent régulièrement : le modèle arithmétique ne convient pas.

3. 3

   On teste les quotients : $\frac{1320}{1200}=1,1$(1 320)/(1 200) = 1,1 ; $\frac{1452}{1320}=1,1$(1 452)/(1 320) = 1,1 ; $\frac{1597}{1452}\approx 1,0999$(1 597)/(1 452) ≈ 1,0999.

4. 4

   Les quotients sont constants (aux arrondis près) et valent $1,1$1,1 : le modèle GÉOMÉTRIQUE convient, avec $q=1,1$q = 1,1.

5. 5

   Traduction : le nombre d'abonnés progresse d'environ $10\%$10 % par an.

6. 6

   Expression : $u_n=1200\times 1,1^n$uₙ = 1 200 × 1,1^(n), où $n$n est le nombre d'années depuis 2020.

7. 7

   Vérification du modèle sur 2023 ($n=3$n = 3) : $1200\times 1,1^3=1200\times 1,331=1597,2$1 200 × 1,1³ = 1 200 × 1,331 = 1 597,2, à comparer aux $1597$1 597 observés ✔.

8. 8

   Prévision pour 2026, soit $n=6$n = 6 : $1,1^6\approx 1,771561$1,1⁶ ≈ 1,771561.

9. 9

   $u_6\approx 1200\times 1,771561\approx 2126$u₆ ≈ 1 200 × 1,771561 ≈ 2 126 abonnés.

10. 10

    Réserve à formuler : le modèle suppose que le rythme de $+10\%$+10 % se maintient trois ans de plus.

    Un service atteint tôt ou tard un plafond de marché — la prévision est une projection, pas une garantie.

Rappel de cours : Différences constantes $\Rightarrow$⇒ arithmétique. Quotients constants $\Rightarrow$⇒ géométrique. On teste les deux avant de choisir.

Erreur fréquente : Choisir le modèle arithmétique parce que les différences « ne sont pas si éloignées ». $120$120, $132$132, $145$145 augmentent de façon nette et régulière.

Correction détaillée

1. 1

   Le symbole ${\sum }_{k=p}^n$Σ_k=pⁿ indique qu'on additionne les termes pour $k$k allant de $p$p à $n$n : il y a $n-p+1$n - p + 1 termes.

2. 2

   a) De $k=0$k = 0 à $k=11$k = 11 : $12$12 termes, en progression arithmétique de raison $25$25, de $500$500 à $500+25\times 11=775$500 + 25 × 11 = 775.

3. 3

   La somme vaut $12\times \frac{500+775}{2}=12\times 637,5=7650$12 × (500 + 775)/2 = 12 × 637,5 = 7650 unités vendues sur l'année.

4. 4

   b) De $k=0$k = 0 à $k=5$k = 5 : $6$6 termes en progression géométrique, de premier terme $3$3 et de raison $2$2.

5. 5

   La somme vaut $3\times \frac{2^6-1}{2-1}=3\times 63=189$3 × (2⁶ - 1)/(2 - 1) = 3 × 63 = 189.

   Contrôle : $3+6+12+24+48+96=189$3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.

Rappel de cours : Nombre de termes de ${\sum }_{k=p}^n$Σ_k=pⁿ : $n-p+1$n - p + 1.

Erreur fréquente : Compter $11$11 termes de $0$0 à $11$11 au lieu de $12$12.

Correction détaillée

1. 1

   Il y a $36$36 versements.

   Le premier est capitalisé $35$35 mois, le dernier $0$0 mois : le capital vaut $150+150\times 1,003+\cdots +150\times 1,003^{35}$150 + 150 × 1,003 + … + 150 × 1,003³⁵.

2. 2

   C'est la somme de $36$36 termes d'une suite géométrique de premier terme $150$150 et de raison $1,003$1,003 : $150\times \frac{1,003^{36}-1}{0,003}\approx 5693,38$150 × (1,003³⁶ - 1)/0,003 ≈ 5693,38 €.

3. 3

   Les versements totalisent $36\times 150=5400$36 × 150 = 5400 € ; les intérêts représentent donc environ $293,38$293,38 €, soit un peu plus de $5\%$5 % du capital.

Rappel de cours : Valeur acquise de $n$n versements $V$V au taux $t$t : $V\times \frac{(1+t{)}^n-1}{t}$V × ((1+t)ⁿ - 1)/t.

Correction détaillée

1. 1

   Offre A : un montant fixe s'ajoute, la suite est arithmétique de raison $80$80.

   $a_n=1200+80n$aₙ = 1 200 + 80n.

2. 2

   Offre B : un taux fixe s'applique, la suite est géométrique de raison $1,08$1,08.

   $b_n=1000\times 1,08^n$bₙ = 1 000 × 1,08^(n).

3. 3

   Au bout de $5$5 ans ($n=5$n = 5) : $a_5=1200+400=1600$a₅ = 1 200 + 400 = 1 600 €.

4. 4

   $b_5=1000\times 1,08^5\approx 1000\times 1,469328\approx 1469,33$b₅ = 1 000 × 1,08⁵ ≈ 1 000 × 1,469328 ≈ 1 469,33 €.

5. 5

   L'offre A reste donc nettement plus avantageuse au bout de cinq ans ($130,67$130,67 € d'écart).

6. 6

   Pour la troisième question, on compare les deux suites par balayage au tableur.

7. 7

   $n=6$n = 6 : $a_6=1680$a₆ = 1 680 et $b_6\approx 1586,87$b₆ ≈ 1 586,87 — A devant.

8. 8

   $n=7$n = 7 : $a_7=1760$a₇ = 1 760 et $b_7\approx 1713,82$b₇ ≈ 1 713,82 — A encore devant, mais l'écart fond.

9. 9

   $n=8$n = 8 : $a_8=1840$a₈ = 1 840 et $b_8\approx 1850,93$b₈ ≈ 1 850,93 — B passe devant.

10. 10

    L'offre B devient donc la plus avantageuse à partir de $n=8$n = 8, c'est-à-dire la neuvième année de rémunération.

11. 11

    Explication : une suite géométrique de raison $>1$> 1 finit TOUJOURS par dépasser une suite arithmétique, quelle que soit l'avance de départ.

    Elle est simplement lente à démarrer.

12. 12

    Conseil de gestion : pour un commercial qui compte rester peu de temps, A est préférable ; pour une carrière longue dans l'entreprise, B l'emporte largement — $b_{20}\approx 4661$b₂₀ ≈ 4 661 € contre $a_{20}=2800$a₂₀ = 2 800 €.

Rappel de cours : Croissance exponentielle contre croissance linéaire : l'exponentielle finit toujours par gagner, même en partant plus bas.

Erreur fréquente : Conclure au bout de cinq ans que « A est meilleure », sans préciser l'horizon. La réponse dépend entièrement de la durée envisagée.

Correction détaillée

1. 1

   Total versé : $10\times 1500=15000$10 × 1 500 = 15 000 €.

   C'est l'argent sorti de sa poche.

2. 2

   Chaque versement rapporte des intérêts pendant un nombre d'années différent : le premier pendant $9$9 ans, le dernier pendant $0$0 an.

3. 3

   La somme finale s'écrit donc $1500\times 1,03^9+1500\times 1,03^8+\cdots +1500\times 1,03^0$1 500 × 1,03⁹ + 1 500 × 1,03⁸ + … + 1 500 × 1,03⁰.

4. 4

   On reconnaît une somme de $10$10 termes d'une suite géométrique de raison $1,03$1,03, de premier terme $1500$1 500.

5. 5

   $S=1500\times \frac{1,03^{10}-1}{1,03-1}$S = 1 500 × (1,03¹⁰ - 1)/(1,03 - 1).

6. 6

   $1,03^{10}\approx 1,343916$1,03¹⁰ ≈ 1,343916, donc $\frac{0,343916}{0,03}\approx 11,463879$0,343916/0,03 ≈ 11,463879.

7. 7

   $S\approx 1500\times 11,463879\approx 17195,82$S ≈ 1 500 × 11,463879 ≈ 17 195,82 €.

8. 8

   Part des intérêts : $17195,82-15000=2195,82$17 195,82 - 15 000 = 2 195,82 €.

9. 9

   Cela représente environ $14,6\%$14,6 % du total versé — un rendement effectif bien inférieur à $3\times 10=30\%$3 × 10 = 30 %, parce que les derniers versements ne travaillent presque pas.

10. 10

    Contrôle de vraisemblance : la somme doit être supérieure à $15000$15 000 € (il y a des intérêts) et inférieure à $15000\times 1,03^{10}\approx 20159$15 000 × 1,03¹⁰ ≈ 20 159 € (cas où tout aurait été versé dès le départ).

    $17196$17 196 € est bien entre les deux ✔.

11. 11

    À retenir pour le bac : « versements réguliers + intérêts composés » signifie toujours SOMME de suite géométrique, jamais un simple produit.

Rappel de cours : Valeur acquise de $N$N versements $V$V au taux $q-1$q - 1 : $S=V\times \frac{q^N-1}{q-1}$S = V × (q^(N) - 1)/(q - 1).

Erreur fréquente : Calculer $15000\times 1,03^{10}$15 000 × 1,03¹⁰. Cela supposerait que la totalité a été versée dès la première année, ce qui surestime de près de $3000$3 000 €.

Correction détaillée

1. 1

   Linéaire : un MONTANT fixe est retiré chaque année, suite arithmétique de raison $-3000$-3 000.

   $v_n=24000-3000n$vₙ = 24 000 - 3 000n.

2. 2

   Dégressif : un TAUX fixe s'applique, il reste $75\%$75 % chaque année, suite géométrique de raison $0,75$0,75.

   $w_n=24000\times 0,75^n$wₙ = 24 000 × 0,75^(n).

3. 3

   Au bout de $3$3 ans : $v_3=24000-9000=15000$v₃ = 24 000 - 9 000 = 15 000 €.

4. 4

   $w_3=24000\times 0,75^3=24000\times 0,421875=10125$w₃ = 24 000 × 0,75³ = 24 000 × 0,421875 = 10 125 €.

5. 5

   Le dégressif fait donc perdre beaucoup plus de valeur au début : $4875$4 875 € d'écart dès la troisième année.

6. 6

   Pour le seuil, on balaie : $w_3=10125$w₃ = 10 125 € (au-dessus de $10000$10 000) et $w_4=24000\times 0,31640625=7593,75$w₄ = 24 000 × 0,31640625 = 7 593,75 € (en dessous).

7. 7

   La valeur dégressive passe donc sous $10000$10 000 € au cours de la quatrième année.

8. 8

   Au bout de $8$8 ans : $v_8=24000-24000=0$v₈ = 24 000 - 24 000 = 0 €.

   La machine est entièrement amortie, sa valeur comptable est nulle.

9. 9

   $w_8=24000\times 0,75^8\approx 24000\times 0,100113\approx 2402,71$w₈ = 24 000 × 0,75⁸ ≈ 24 000 × 0,100113 ≈ 2 402,71 €.

10. 10

    Différence de nature essentielle : le linéaire atteint $0$0 exactement au bout de $8$8 ans, le dégressif ne l'atteint JAMAIS — il s'en approche seulement.

11. 11

    C'est d'ailleurs pour cette raison qu'en comptabilité, l'amortissement dégressif bascule en linéaire sur les dernières années.

12. 12

    Intérêt fiscal du dégressif : il concentre la charge sur les premières années, ce qui réduit le bénéfice imposable au début.

    Le total amorti reste identique, seul le calendrier change.

Rappel de cours : Amortissement linéaire = suite arithmétique (montant fixe). Amortissement dégressif = suite géométrique (taux fixe).

Erreur fréquente : Croire que le dégressif atteint $0$0 au bout de $8$8 ans comme le linéaire. Une suite géométrique de raison $0,75$0,75 ne s'annule jamais.

Correction détaillée

1. 1

   Les évolutions se composent : le coefficient global vaut $1,12\times 1,03=1,1536$1,12 × 1,03 = 1,1536, soit $+15,36\%$+15,36 % en deux ans.

2. 2

   Le coefficient annuel moyen $c$c vérifie $c^2=1,1536$c² = 1,1536 : c'est la moyenne géométrique des deux coefficients, $c=\sqrt{1,12\times 1,03}\approx 1,0741$c = √(1,12 × 1,03) ≈ 1,0741.

3. 3

   Le taux annuel moyen est donc d'environ $7,41\%$7,41 %, et non $7,5\%$7,5 %.

4. 4

   Contrôle : $1,075^2=1,155625$1,075² = 1,155625, un peu plus que $1,1536$1,1536 : la moyenne arithmétique des taux surestime toujours le taux moyen.

Erreur fréquente : Faire la moyenne arithmétique des taux $\frac{12+3}{2}=7,5\%$(12 + 3)/2 = 7,5 %.

Correction détaillée

1. 1

   La suite est géométrique de premier terme $1200$1200 et de raison $1,05$1,05 : $a_n=1200\times 1,05^n$aₙ = 1200 × 1,05ⁿ.

2. 2

   Les recettes de l'année $2024+k$2024 + k valent $300a_k=360000\times 1,05^k$300 aₖ = 360 000 × 1,05^(k).

   De 2024 à 2030, $k$k va de $0$0 à $6$6 : $7$7 termes.

3. 3

   $\sum _{k=0}^{6}360000\times 1,05^k=360000\times \frac{1,05^7-1}{0,05}\approx 2931123$Σ_k=0⁶ 360 000 × 1,05^(k) = 360 000 × (1,05⁷ - 1)/0,05 ≈ 2 931 123 €.

4. 4

   On résout $1200\times 1,05^n>1800$1200 × 1,05ⁿ > 1800, soit $1,05^n>1,5$1,05ⁿ > 1,5 : $n>\frac{\log (1,5)}{\log (1,05)}\approx 8,31$n > log(1,5)/log(1,05) ≈ 8,31, donc $n=9$n = 9.

5. 5

   Vérification : $a_8\approx 1773$a₈ ≈ 1773 et $a_9\approx 1862$a₉ ≈ 1862.

   La salle dépassera $1800$1800 adhérents en 2033.

Correction détaillée

1. 1

   Placement A : le capital est multiplié par $1,03$1,03 chaque année, suite GÉOMÉTRIQUE.

   $a_n=10000\times 1,03^n$aₙ = 10 000 × 1,03^(n).

2. 2

   Placement B : $400$400 € s'ajoutent chaque année, suite ARITHMÉTIQUE.

   $b_n=10000+400n$bₙ = 10 000 + 400n.

3. 3

   Au bout de $5$5 ans : $a_5=10000\times 1,03^5\approx 10000\times 1,159274\approx 11592,74$a₅ = 10 000 × 1,03⁵ ≈ 10 000 × 1,159274 ≈ 11 592,74 €.

4. 4

   $b_5=10000+2000=12000$b₅ = 10 000 + 2 000 = 12 000 €.

   Le placement B est meilleur, de $407,26$407,26 €.

5. 5

   Au bout de $10$10 ans : $a_{10}\approx 10000\times 1,343916\approx 13439,16$a₁₀ ≈ 10 000 × 1,343916 ≈ 13 439,16 € et $b_{10}=14000$b₁₀ = 14 000 €.

   B reste meilleur.

6. 6

   On balaie ensuite les rangs plus élevés au tableur.

7. 7

   $n=15$n = 15 : $a_{15}\approx 15579,67$a₁₅ ≈ 15 579,67 € contre $b_{15}=16000$b₁₅ = 16 000 € — B devant.

8. 8

   $n=19$n = 19 : $a_{19}\approx 17535,06$a₁₉ ≈ 17 535,06 € contre $b_{19}=17600$b₁₉ = 17 600 € — B devant de justesse ($65$65 €).

9. 9

   $n=20$n = 20 : $a_{20}\approx 18061,11$a₂₀ ≈ 18 061,11 € contre $b_{20}=18000$b₂₀ = 18 000 € — A passe devant.

10. 10

    Le placement A devient donc le meilleur à partir de la vingtième année.

11. 11

    Et l'écart se creuse ensuite très vite : $a_{30}\approx 24272,62$a₃₀ ≈ 24 272,62 € contre $b_{30}=22000$b₃₀ = 22 000 €, soit plus de $2270$2 270 € de différence.

12. 12

    Conseil à rédiger : pour un horizon court ou moyen (moins de $20$20 ans), le placement B à intérêts simples rapporte davantage.

    Pour un horizon long, le placement A l'emporte de plus en plus nettement.

13. 13

    Explication du croisement : les $400$400 € de B sont fixes, alors que les intérêts de A portent chaque année sur un capital plus gros.

    La première année, A ne rapporte que $300$300 € ; la vingtième, il en rapporte plus de $525$525.

Rappel de cours : Intérêts simples $\Rightarrow$⇒ suite arithmétique. Intérêts composés $\Rightarrow$⇒ suite géométrique. La seconde finit toujours par l'emporter.