Systèmes d'équations en Troisième

Systèmes d'équations en 3ème : cours complet

Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations que deux nombres doivent vérifier simultanément. On les résout par substitution ou par combinaison linéaire. C'est un grand classique du brevet.

Définition

Un système s'écrit :

$$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }\end{array}$$a x + b y = c ; a' x + b' y = c'

avec $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$a, b, c, a', b', c' des nombres connus, et $x,y$x, y les inconnues.

Résoudre le système, c'est trouver les couples $(x,y)$(x, y) qui vérifient les deux équations.

Méthode 1 : la substitution

Étapes

1. Exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation.
2. Remplacer cette inconnue dans l'autre équation.
3. Résoudre l'équation à une inconnue obtenue.
4. Calculer la deuxième inconnue.

Exemple

$$\{\begin{array}{l}x+y=7\\ 2x-y=5\end{array}$$x + y = 7 ; 2x - y = 5

Étape 1 : à partir de la première équation, $y=7-x$y = 7 - x.

Étape 2 : on remplace dans la seconde : $2x-(7-x)=5$2x - (7 - x) = 5.

Étape 3 : $2x-7+x=5⟺3x=12⟺x=4$2x - 7 + x = 5 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4.

Étape 4 : $y=7-4=3$y = 7 - 4 = 3.

Solution : le couple $(4,3)$(4, 3).

Vérification : $4+3=7$4 + 3 = 7 ✓ et $2\times 4-3=5$2 × 4 - 3 = 5 ✓.

Méthode 2 : la combinaison linéaire (addition / soustraction)

Étapes

1. Multiplier les équations par des nombres pour faire apparaître des coefficients opposés (ou égaux) devant une même inconnue.
2. Additionner (ou soustraire) les deux équations pour éliminer cette inconnue.
3. Résoudre l'équation obtenue.
4. Reporter la valeur trouvée pour calculer l'autre inconnue.

Exemple

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=13\\ 4x-3y=5\end{array}$$2x + 3y = 13 ; 4x - 3y = 5

Les coefficients de $y$y sont déjà opposés ($+3$+3 et $-3$-3). On additionne :

$$(2x+3y)+(4x-3y)=13+5$$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 13 + 5 $$6x=18⟺x=3$$6x = 18 ⇔ x = 3

On reporte dans la première équation : $2\times 3+3y=13⟺3y=7⟺y=\frac{7}{3}$2 × 3 + 3y = 13 ⇔ 3y = 7 ⇔ y = 7/3.

Solution : $(3;\frac{7}{3})$(3 ; 7/3).

Exemple où il faut multiplier

$$\{\begin{array}{l}3x+2y=16\\ 5x+4y=28\end{array}$$3x + 2y = 16 ; 5x + 4y = 28

On multiplie la première équation par $-2$-2 : $-6x-4y=-32$-6x - 4y = -32.

On additionne à la seconde : $(-6x-4y)+(5x+4y)=-32+28⟺-x=-4⟺x=4$(-6x - 4y) + (5x + 4y) = -32 + 28 ⇔ -x = -4 ⇔ x = 4.

On reporte : $3\times 4+2y=16⟺y=2$3 × 4 + 2y = 16 ⇔ y = 2.

Solution : $(4;2)$(4 ; 2).

Choix de la méthode

Mais les deux méthodes marchent toujours !

Mise en équation d'un problème

Méthode

1. Choisir deux inconnues et les nommer (souvent $x$x et $y$y).
2. Traduire chaque information de l'énoncé en équation.
3. Résoudre le système obtenu.
4. Vérifier la cohérence avec l'énoncé.
5. Conclure par une phrase.

Exemple

« Au snack, $2$2 croque-monsieur et $3$3 boissons coûtent $14$14 €. $3$3 croque-monsieur et $2$2 boissons coûtent $16$16 €. Quel est le prix d'un croque-monsieur ? d'une boisson ? »

• Soit $x$x le prix d'un croque-monsieur et $y$y celui d'une boisson.

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=14\\ 3x+2y=16\end{array}$$2x + 3y = 14 ; 3x + 2y = 16

On multiplie la première par $3$3 et la seconde par $2$2 pour éliminer $x$x :

$$\{\begin{array}{l}6x+9y=42\\ 6x+4y=32\end{array}$$6x + 9y = 42 ; 6x + 4y = 32

On soustrait : $5y=10⟺y=2$5y = 10 ⇔ y = 2.

On reporte : $2x+3\times 2=14⟺x=4$2x + 3 × 2 = 14 ⇔ x = 4.

Conclusion : un croque-monsieur coûte $4$4 €, une boisson $2$2 €.

Système à solution unique, infinité, ou aucune

Selon le système, on a trois cas :

• Une solution unique : cas le plus courant (deux équations « indépendantes »).
• Infinité de solutions : les deux équations sont équivalentes (l'une est multiple de l'autre).
• Aucune solution : les deux équations sont incompatibles (par exemple $x+y=1$x + y = 1 et $x+y=3$x + y = 3).

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de calculer la deuxième inconnue : il faut donner le couple $(x,y)$(x, y).
• Mal signer lors de la combinaison : attention aux signes.
• Oublier les parenthèses lors de la substitution : si $y=7-x$y = 7 - x, alors $-y=-(7-x)=-7+x$-y = -(7 - x) = -7 + x.
• Vérification ratée : toujours vérifier le couple dans les deux équations.

FAQ — Les systèmes d'équations

Pourquoi deux équations pour deux inconnues ?

Une seule équation à deux inconnues a une infinité de solutions (une droite). Pour avoir une solution unique, il faut deux équations indépendantes.

Quelle méthode est la plus rapide ?

Cela dépend du système. La substitution est rapide si une inconnue est isolée facilement. La combinaison est rapide si les coefficients s'éliminent vite.

Comment savoir si un système a une solution ?

Si la résolution aboutit à un couple $(x,y)$(x, y) : oui. Si on tombe sur $0=0$0 = 0 : infinité. Si on tombe sur $0=5$0 = 5 : aucune solution.

Pourquoi vérifier la solution ?

Pour s'assurer qu'on n'a pas fait d'erreur. La vérification est rapide et rassurante.