Équations et inéquations en Troisième

Équations et inéquations en 3ème : cours complet

En troisième, tu approfondis les équations vues en 4ème : tu résous des équations-produits et tu découvres les inéquations du premier degré, qui s'utilisent quand on cherche un intervalle de solutions au lieu d'une seule valeur.

Rappels sur les équations

Une équation est une égalité contenant une inconnue. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

Règles essentielles

• Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés.
• Multiplier ou diviser par le même nombre non nul.

Équations-produits

Propriété

$$A\times B=0⟺A=0\text{ ou }B=0$$A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0

Méthode

1. Mettre l'équation sous la forme $A\times B=0$A × B = 0 (en factorisant si nécessaire).
2. Résoudre chaque facteur = $0$0.
3. Lister les solutions.

Exemple 1

Résoudre $(x-3)(2x+5)=0$(x - 3)(2x + 5) = 0 :

$$x-3=0\text{ ou }2x+5=0$$x - 3 = 0 ou 2x + 5 = 0 $$x=3\text{ ou }x=-\frac{5}{2}$$x = 3 ou x = -5/2

Exemple 2 — Avec factorisation

Résoudre $x^2-9=0$x² - 9 = 0 :

$$(x-3)(x+3)=0⟺x=3\text{ ou }x=-3$$(x - 3)(x + 3) = 0 ⇔ x = 3 ou x = -3

Exemple 3 — Identité remarquable

Résoudre $x^2+6x+9=0$x² + 6x + 9 = 0 :

$$(x+3{)}^2=0⟺x+3=0⟺x=-3$$(x + 3)² = 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = -3

Les inéquations du premier degré

Définition

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Symboles utilisés : $<$<, $>$>, $\le$≤, $\ge$≥.

Exemple

L'inéquation $2x+3\le 11$2x + 3 ≤ 11 signifie : « pour quelles valeurs de $x$x a-t-on $2x+3$2x + 3 inférieur ou égal à $11$11 ? »

Règles de résolution

Règle 1 : ajouter ou soustraire le même nombre

L'inégalité reste vraie :

$$a<b⟺a+c<b+c\text{et}a-c<b-c$$a < b ⇔ a + c < b + c et a - c < b - c

Règle 2 : multiplier ou diviser par un nombre positif

L'inégalité reste vraie :

$$a<b\text{et }c>0⟺ac<bc$$a < b et c > 0 ⇔ ac < bc

Règle 3 : multiplier ou diviser par un nombre négatif

Attention : l'inégalité change de sens :

$$a<b\text{et }c<0⟺ac>bc$$a < b et c < 0 ⇔ ac > bc

C'est l'erreur classique à éviter !

Résolution d'une inéquation

Méthode

1. Isoler $x$x en transposant les termes (additions/soustractions).
2. Diviser par le coefficient de $x$x.
3. Si on divise par un nombre négatif, changer le sens de l'inégalité.
4. Écrire l'ensemble des solutions (sous forme d'intervalle ou de phrase).

Exemple 1

$$3x+2<14$$3x + 2 < 14 $$3x<12$$3x < 12 $$x<4$$x < 4

L'ensemble des solutions est l'intervalle $]-\infty ;4[$] -∞ ; 4 [ (tous les nombres strictement inférieurs à $4$4).

Exemple 2 — Avec coefficient négatif

$$-2x+5\ge 1$$-2x + 5 ≥ 1 $$-2x\ge -4$$-2x ≥ -4 $$x\le 2(\text{changement de sens car diviseˊ par }-2)$$x ≤ 2 ( changement de sens car divisé par -2)

L'ensemble des solutions est $]-\infty ;2]$] -∞ ; 2 ].

Représentation sur une droite graduée

On représente les solutions sur une droite graduée avec :

• Un crochet ouvert (sans le point) pour $<$< ou $>$>.
• Un crochet fermé (avec le point) pour $\le$≤ ou $\ge$≥.
• Une flèche ou un trait coloré indiquant la zone des solutions.

Notation par intervalles

• $]-\infty ;a[$] -∞ ; a [ : $x<a$x < a.
• $]-\infty ;a]$] -∞ ; a ] : $x\le a$x ≤ a.
• $]a;+\infty [$] a ; +∞ [ : $x>a$x > a.
• $[a;+\infty [$[ a ; +∞ [ : $x\ge a$x ≥ a.
• $[a;b]$[ a ; b ] : $a\le x\le b$a ≤ x ≤ b.

Application à un problème

Exemple

« Quel est le plus grand entier $n$n tel que $3n-7\le 20$3n - 7 ≤ 20 ? »

$$3n-7\le 20⟺3n\le 27⟺n\le 9$$3n - 7 ≤ 20 ⇔ 3n ≤ 27 ⇔ n ≤ 9

Le plus grand entier est $n=9$n = 9.

Autre exemple

« Pour quelles valeurs de $x$x le périmètre du rectangle $L=2x+3$L = 2x + 3 et $\ell =x+1$ℓ = x + 1 est-il inférieur à $30$30 cm ? »

$$2(L+\ell )=2(3x+4)=6x+8<30$$2(L + ℓ) = 2(3x + 4) = 6x + 8 < 30 $$6x<22⟺x<\frac{22}{6}=\frac{11}{3}\approx 3,67$$6x < 22 ⇔ x < 22/6 = 11/3 ≈ 3,67

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de changer le sens lors d'une division par un nombre négatif.
• Confondre $<$< et $\le$≤ : ouvert ($<$<) ne contient pas l'extrémité, fermé ($\le$≤) la contient.
• Mal lire l'énoncé : « au plus », « au moins » se traduit en $\le$≤ ou $\ge$≥.
• Solution comprise comme un seul nombre : une inéquation a souvent une infinité de solutions (un intervalle).

FAQ — Équations et inéquations en 3ème

Quelle est la différence entre équation et inéquation ?

Une équation a un signe $=$= et un nombre fini de solutions (souvent une).
Une inéquation a un signe $<,>,\le ,\ge$<, >, ≤, ≥ et une infinité de solutions (un intervalle).

Pourquoi le sens change avec un nombre négatif ?

Parce que multiplier par $-1$-1 « renverse » l'ordre. Exemple : $2<5$2 < 5 mais $-2>-5$-2 > -5.

Comment vérifier une solution d'inéquation ?

On prend une valeur dans l'intervalle trouvé et on vérifie que l'inégalité est vraie. On prend une valeur hors de l'intervalle et on vérifie qu'elle est fausse.

À quoi servent les inéquations dans la vie ?

À fixer des limites : un budget maximal, une distance minimale, une température entre deux valeurs… On les retrouve en économie, en physique, en logistique.