Calcul littéral et identités remarquables en Troisième

Calcul littéral et identités remarquables en 3ème : cours complet

En troisième, tu maîtrises définitivement le calcul littéral : tu développes, tu factorises, et tu utilises les fameuses identités remarquables. Ces formules sont incontournables au brevet et tu les retrouveras à tous les niveaux du lycée.

Rappels

• Développer : passer d'un produit à une somme.
• Factoriser : passer d'une somme à un produit.
• Réduire : simplifier en regroupant les termes semblables.

Distributivité simple

$$k(a+b)=ka+kbk(a-b)=ka-kb$$k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka - kb

Distributivité double

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemple

$$(x+3)(2x-5)=2x^2-5x+6x-15=2x^2+x-15$$(x + 3)(2x - 5) = 2x² - 5x + 6x - 15 = 2x² + x - 15

Les trois identités remarquables

Carré d'une somme

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$(a + b)² = a² + 2ab + b²

Carré d'une différence

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$(a - b)² = a² - 2ab + b²

Différence de deux carrés

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$(a + b)(a - b) = a² - b²

Démonstrations

Ces formules se démontrent par double distributivité. Exemple :

$$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Utiliser les identités pour développer

Exemple 1

$$(x+5{)}^2=x^2+2\times x\times 5+5^2=x^2+10x+25$$(x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25

Exemple 2

$$(3x-2{)}^2=(3x{)}^2-2\times 3x\times 2+2^2=9x^2-12x+4$$(3x - 2)² = (3x)² - 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² - 12x + 4

Exemple 3

$$(x+4)(x-4)=x^2-16$$(x + 4)(x - 4) = x² - 16

Utiliser les identités pour factoriser

Reconnaître une identité

• $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$a² + 2ab + b² = (a + b)²
• $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$a² - 2ab + b² = (a - b)²
• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$a² - b² = (a + b)(a - b)

Exemple 1 — Différence de deux carrés

$$x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)$$x² - 25 = x² - 5² = (x + 5)(x - 5)

Exemple 2 — Carré d'une somme

$$x^2+6x+9=x^2+2\times x\times 3+3^2=(x+3{)}^2$$x² + 6x + 9 = x² + 2 × x × 3 + 3² = (x + 3)²

Exemple 3 — Carré d'une différence

$$4x^2-12x+9=(2x{)}^2-2\times 2x\times 3+3^2=(2x-3{)}^2$$4x² - 12x + 9 = (2x)² - 2 × 2x × 3 + 3² = (2x - 3)²

Factoriser avec un facteur commun

Avec un nombre

$$6x+18=6(x+3)$$6x + 18 = 6(x + 3)

Avec une lettre

$$x^2+5x=x(x+5)$$x² + 5x = x(x + 5)

Avec une expression entière

$$(x+1)(2x-3)+(x+1)(5x+4)=(x+1)[(2x-3)+(5x+4)]=(x+1)(7x+1)$$(x + 1)(2x - 3) + (x + 1)(5x + 4) = (x + 1)[(2x - 3) + (5x + 4)] = (x + 1)(7x + 1)

Combiné avec une identité

$$x^2-9=(x-3)(x+3)$$x² - 9 = (x - 3)(x + 3) $$(x-3)(x+3)+5(x-3)=(x-3)[(x+3)+5]=(x-3)(x+8)$$(x - 3)(x + 3) + 5(x - 3) = (x - 3)[(x + 3) + 5] = (x - 3)(x + 8)

Équations produit nul

Pour résoudre $A\times B=0$A × B = 0, on utilise la propriété :

$$A\times B=0⟺A=0\text{ ou }B=0$$A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0

Exemple

Résoudre $(x-2)(x+5)=0$(x - 2)(x + 5) = 0 :

$$x-2=0\text{ ou }x+5=0$$x - 2 = 0 ou x + 5 = 0 $$x=2\text{ ou }x=-5$$x = 2 ou x = -5

Avec factorisation préalable

Résoudre $x^2-16=0$x² - 16 = 0 :

$$x^2-16=(x-4)(x+4)=0$$x² - 16 = (x - 4)(x + 4) = 0 $$x=4\text{ ou }x=-4$$x = 4 ou x = -4

Stratégie pour factoriser

Devant une expression, on se demande :

1. Y a-t-il un facteur commun à tous les termes ? Si oui, on le sort.
2. Reconnaît-on une identité remarquable ? Si oui, on applique la formule.
3. Y a-t-il un facteur commun apparent (parenthèse répétée) ? Si oui, on factorise par cette parenthèse.

Erreurs fréquentes à éviter

• $(a+b{)}^2=a^2+b^2$(a + b)² = a² + b² : faux ! Il manque le $2ab$2ab.
• $(a-b{)}^2=a^2-b^2$(a - b)² = a² - b² : faux ! Il manque le $-2ab$-2ab.
• Mal identifier $a$a et $b$b dans les identités : pour $(3x-2{)}^2$(3x - 2)², $a=3x$a = 3x et $b=2$b = 2.
• Oublier les parenthèses : $-(a+b)=-a-b$-(a + b) = -a - b, pas $-a+b$-a + b.
• Mal factoriser : il faut que le facteur soit commun à tous les termes.

FAQ — Calcul littéral et identités remarquables

Pourquoi apprendre les identités remarquables ?

Parce qu'elles simplifient énormément les calculs : pas besoin de tout développer à chaque fois. On les retrouve partout au lycée.

Comment retrouver $(a+b{)}^2$(a + b)² si je l'oublie ?

Tu peux toujours le redévelopper : $(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Comment savoir si une expression peut se factoriser ?

Si on peut identifier un facteur commun ou une identité remarquable, oui. Sinon, on peut souvent transformer l'expression pour faire apparaître ces structures.

À quoi sert la factorisation ?

À résoudre des équations (équations produit nul), à simplifier des fractions algébriques, et à étudier le signe d'une expression.