Formule · Terminale spé maths

Formule : Signe, variations et équations

Toujours positive, strictement croissante, et injective.

e^{x} > 0 pour tout x e^{a} = e^{b} ⟺ a = b

e ^(x) > 0 pour tout x e ^(a) = e ^(b) ⇔ a = b

Ce que dit la formule

L'exponentielle est strictement positive sur $R$ ℝ : $e^{x} > 0$ e ^(x) > 0 quel que soit $x$ x. Sa dérivée $e^{x}$ e ^(x) étant positive, elle est strictement croissante.

Elle est injective : $e^{a} = e^{b}$ e ^(a) = e ^(b) équivaut à $a = b$ a = b, ce qui sert à résoudre les équations. De même $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ e ^(a) < e ^(b) ⇔ a < b.

Exemple

e^{x} = 1 ⟺ x = 0

e ^(x) = 1 ⇔ x = 0 (car

e^{0} = 1

e ⁰ = 1).

Piège à éviter

L'équation

e^{x} = - 2

e ^(x) = -2 n'a aucune solution : l'exponentielle ne prend jamais de valeur négative ou nulle.

Les autres formules de la fonction exponentielle

Propriétés algébriques →

e^{a + b} = e^{a} e^{b} e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} \frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b} (e^{a})^{n} = e^{na}

e ^(a+b) = e ^(a) e ^(b) e ^(-a) = 1/(e ^(a)) (e ^(a))/(e ^(b)) = e ^(a-b) ( e ^(a))ⁿ = e ^(na)Dérivée de l'exponentielle →

(e^{x})^{'} = e^{x} (e^{u})^{'} = u^{'} e^{u} (e^{k x})^{'} = k e^{k x}

( e ^(x))' = e ^(x) ( e ^(u))' = u' e ^(u) ( e ^(kx))' = k e ^(kx)

Tout sur exponentielle et logarithme en terminale

Les deux fonctions transcendantes du bac : propriétés algébriques, dérivées, limites et équations.

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Annales Bac Spécialité Maths Terminale

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La fonction exponentielle →