Dérivée du logarithme : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[, la dérivée de $ln x$ ln x est $\frac{1}{x}$ 1/x. Comme $x > 0$ x > 0, cette dérivée est positive : $ln$ ln est strictement croissante.

Pour une composée, $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (ln u)' = u'/u (là où $u > 0$ u > 0).

La dérivée $\frac{1}{x}$ 1/x est strictement positive sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[, ce qui démontre en une ligne que le logarithme népérien est strictement croissant sur tout son domaine.

La forme composée $\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u est la plus utile en pratique : elle sert à dériver tous les logarithmes d'expressions, et se reconnaît à l'envers pour trouver des primitives.

Exemple

(ln (3 x))^{'} = \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}

(ln(3x))' = 3/3x = 1/x.

Deuxième exemple

(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

(ln(x²+1))' = 2x/(x²+1) : ici

u = x^{2} + 1

u = x²+1 et

u^{'} = 2 x

u' = 2x. Le dénominateur ne s'annulant jamais, la dérivée est définie sur

R

ℝ tout entier.

Piège à éviter

La dérivée

\frac{1}{x}

1/x n'est valable que pour

x > 0

x > 0, domaine de définition de

ln

ln.

Les autres formules de le logarithme népérien

Propriétés algébriques →

ln (ab) = ln a + ln b ln \frac{a}{b} = ln a - ln b ln (a^{n}) = n ln a ln \frac{1}{a} = - ln a

ln(ab) = ln a + ln b ln a/b = ln a - ln b ln(aⁿ) = nln a ln 1/a = -ln a Logarithme et équations →

ln a = ln b ⟺ a = b (a, b > 0) ln x = y ⟺ x = e^{y}

ln a = ln b ⇔ a = b (a, b > 0) ln x = y ⇔ x = e ^(y)

Questions fréquentes

Pourquoi la dérivée du logarithme est-elle si simple ?

Parce que le logarithme est la fonction réciproque de l'exponentielle : la dérivation de la relation

e^{l n x} = x

e^(ln x) = x conduit directement à

\frac{1}{x}

1/x.

Comment dériver le logarithme d'un produit ?

Le plus simple est de transformer d'abord :

ln (3 x) = ln 3 + ln x

ln(3x) = ln 3 + ln x, dont la dérivée est immédiatement

\frac{1}{x}

1/x.

Quelle condition sur u pour la forme composée ?

Il faut

u > 0

u > 0 sur l'intervalle considéré, sans quoi

ln u

ln u n'existe pas.

Tout sur exponentielle et logarithme en terminale

Les deux fonctions transcendantes du bac : propriétés algébriques, dérivées, limites et équations.

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