Les étapes pour résoudre une équation différentielle

1
Identifier a et b
On met l'équation sous la forme $y^{'} = a y + b$ y' = ay + b et on relève $a$ a et $b$ b avec leurs signes.
2
Écrire la solution générale
On applique $y = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ y = C e ^(ax) - b/a (ou $y = C e^{a x}$ y = C e ^(ax) si $b = 0$ b = 0).
3
Déterminer C (si condition)
On remplace $x$ x et $y$ y par la condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ y(x₀) = y₀ pour calculer $C$ C.

Exemple corrigé : résoudre une équation différentielle

Résoudre $y^{'} = - 2 y + 6$ y' = -2y + 6 avec la condition $y (0) = 5$ y(0) = 5.

1. $a = - 2$ a = -2, $b = 6$ b = 6. Solution particulière : $- \frac{b}{a} = - \frac{6}{- 2} = 3$ -b/a = -6/(-2) = 3.
2.Solution générale : $y = C e^{- 2 x} + 3$ y = C e ^(-2x) + 3.
3.Condition : $y (0) = C e^{0} + 3 = C + 3 = 5$ y(0) = C e ⁰ + 3 = C + 3 = 5, donc $C = 2$ C = 2.

Résultat :

y = 2 e^{- 2 x} + 3

y = 2 e ^(-2x) + 3.

On applique la condition initiale à la fin, sur la solution générale complète (avec le

- \frac{b}{a}

-b/a), pas seulement sur l'exponentielle.

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Primitives usuelles, équations différentielles, calcul intégral et aires sous la courbe.

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