Les étapes

1
Identifier a et b
On met l'équation sous la forme $y^{'} = a y + b$ y' = ay + b et on relève $a$ a et $b$ b avec leurs signes.
2
Écrire la solution générale
On applique $y = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ y = C e ^(ax) - b/a (ou $y = C e^{a x}$ y = C e ^(ax) si $b = 0$ b = 0).
3
Déterminer C (si condition)
On remplace $x$ x et $y$ y par la condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ y(x₀) = y₀ pour calculer $C$ C.

Exemple corrigé

Résoudre $y^{'} = - 2 y + 6$ y' = -2y + 6 avec la condition $y (0) = 5$ y(0) = 5.

1. $a = - 2$ a = -2, $b = 6$ b = 6. Solution particulière : $- \frac{b}{a} = - \frac{6}{- 2} = 3$ -b/a = -6/(-2) = 3.
2.Solution générale : $y = C e^{- 2 x} + 3$ y = C e ^(-2x) + 3.
3.Condition : $y (0) = C e^{0} + 3 = C + 3 = 5$ y(0) = C e ⁰ + 3 = C + 3 = 5, donc $C = 2$ C = 2.

Résultat :

y = 2 e^{- 2 x} + 3

y = 2 e ^(-2x) + 3.

On applique la condition initiale à la fin, sur la solution générale complète (avec le

- \frac{b}{a}

-b/a), pas seulement sur l'exponentielle.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Primitives usuelles, équations différentielles, calcul intégral et aires sous la courbe.

Définitions, formules et exercices corrigés sur la même notion :