Exercices types · Terminale spé maths

Les équations différentielles — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Équation y' = ay

Niveau 1 · Application directe

Résoudre l'équation différentielle

y^{'} = 2 y

y' = 2y.

Voir la correction

1.
C'est une équation du type $y^{'} = a y$ y' = ay avec $a = 2$ a = 2.
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b
2.
Les solutions sont $y = C e^{2 x}$ y = C e ^(2x), $C \in R$ C ∈ ℝ.

Réponse :

y = C e^{2 x}

y = C e ^(2x),

C \in R

C ∈ ℝ.

Méthode utilisée : $y^{'} = a y \Rightarrow y = C e^{a x}$ y'=ay⇒ y=Ce^(ax).

Erreur fréquente : Oublier la constante $C$ C.

Avec une condition initiale

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

y^{'} = 2 y

y' = 2y avec

y (0) = 3

y(0) = 3.

Voir la correction

1.
La solution générale est $y = C e^{2 x}$ y = C e ^(2x).
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b
2.
Condition : $y (0) = C e^{0} = C = 3$ y(0) = C e ⁰ = C = 3.
3.
Donc $y = 3 e^{2 x}$ y = 3 e ^(2x).

Réponse :

y = 3 e^{2 x}

y = 3 e ^(2x).

Méthode utilisée : On détermine $C$ C avec la condition $y (0) = 3$ y(0)=3.

Erreur fréquente : Laisser $C$ C indéterminé.

Équation y' = ay + b

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre l'équation différentielle

y^{'} = - 2 y + 6

y' = -2y + 6.

Voir la correction

1.
$a = - 2$ a = -2, $b = 6$ b = 6. Solution particulière constante : $y_{p} = - \frac{b}{a} = - \frac{6}{- 2} = 3$ yₚ = -b/a = -6/(-2) = 3.
→ Solution particulière constante
2.
Solution générale : $y = C e^{- 2 x} + 3$ y = C e ^(-2x) + 3, $C \in R$ C ∈ ℝ.
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b

Réponse :

y = C e^{- 2 x} + 3

y = C e ^(-2x) + 3,

C \in R

C ∈ ℝ.

Méthode utilisée : Solution particulière $- \frac{b}{a} = 3$ -b/a=3, puis $+ C e^{a x}$ +Ce^(ax).

Erreur fréquente : Oublier la solution particulière constante $3$ 3.

Second membre et condition initiale

Niveau 3 · Type contrôle

Résoudre

y^{'} = - 2 y + 6

y' = -2y + 6 avec

y (0) = 5

y(0) = 5.

Voir la correction

1.
Solution particulière : $y_{p} = - \frac{6}{- 2} = 3$ yₚ = -6/(-2) = 3, d'où la solution générale $y = C e^{- 2 x} + 3$ y = C e ^(-2x) + 3.
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b
2.
Condition : $y (0) = C + 3 = 5$ y(0) = C + 3 = 5, donc $C = 2$ C = 2.
3.
$y = 2 e^{- 2 x} + 3$ y = 2 e ^(-2x) + 3.

Réponse :

y = 2 e^{- 2 x} + 3

y = 2 e ^(-2x) + 3.

Méthode utilisée : Solution générale, puis condition initiale.

Erreur fréquente : Appliquer $y (0)$ y(0) avant d'avoir ajouté la solution particulière.

Équation y'=ay

Niveau 1 · Application directe

Résoudre l'équation différentielle

y^{'} = 3 y

y'=3y.

Voir la correction

1.
Les solutions de $y^{'} = a y$ y'=ay sont $y = C e^{a x}$ y=Ce^(ax).
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b
2.
Ici $a = 3$ a=3 : $y = C e^{3 x}$ y=Ce^(3x).

Réponse :

y = C e^{3 x}

y=Ce^(3x),

C \in R

C∈ℝ.

Méthode utilisée : Solution générale de $y^{'} = a y$ y'=ay : $y = C e^{a x}$ y=Ce^(ax).

Erreur fréquente : Oublier la constante $C$ C.

Avec condition initiale

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

y^{'} = - 2 y

y'=-2y avec

y (0) = 5

y(0)=5.

Voir la correction

1.
$y = C e^{- 2 x}$ y=Ce^(-2x).
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b
2.
$y (0) = C = 5$ y(0)=C=5, donc $y = 5 e^{- 2 x}$ y=5e^(-2x).

Réponse :

y = 5 e^{- 2 x}

y=5e^(-2x).

Méthode utilisée : On détermine $C$ C avec la condition initiale.

Erreur fréquente : Garder $C$ C au lieu de l'identifier à $5$ 5.

Équation y'=ay+b

Niveau 2 · Méthode complète

Donner les solutions de

y^{'} = 2 y + 6

y'=2y+6.

Voir la correction

1.
Solution particulière constante : $- \frac{b}{a} = - \frac{6}{2} = - 3$ -b/a=-6/2=-3.
2.
$y = C e^{2 x} - 3$ y=Ce^(2x)-3.
→ Solution particulière constante

Réponse :

y = C e^{2 x} - 3

y=Ce^(2x)-3.

Méthode utilisée : $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b : $y = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ y=Ce^(ax)-b/a.

Erreur fréquente : Oublier la solution particulière $- \frac{b}{a}$ -b/a.

Croissance d'une population (type bac)

Niveau 4 · Type brevet/bac

Une population vérifie

y^{'} = 0, 05 y

y'=0,05 y avec

y (0) = 1000

y(0)=1000. Donner

y (t)

y(t) puis

y (10)

y(10).

Voir la correction

1.
$y = C e^{0, 05 t}$ y=Ce^(0,05t), et $y (0) = C = 1000$ y(0)=C=1000.
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b
2.
$y (t) = 1000 e^{0, 05 t}$ y(t)=1000e^(0,05t), $y (10) = 1000 e^{0, 5} \approx 1649$ y(10)=1000e^(0,5)≈ 1649.

Réponse :

y (t) = 1000 e^{0, 05 t}

y(t)=1000e^(0,05t),

y (10) \approx 1649

y(10)≈ 1649.

Méthode utilisée : Modèle de croissance exponentielle $y^{'} = a y$ y'=ay.

Erreur fréquente : Calculer $1000 \times 0, 5$ 1000× 0,5 au lieu de $1000 e^{0, 5}$ 1000e^(0,5).

Coefficient décimal

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

y^{'} = 0, 5 y

y'=0,5 y.

Voir la correction

1.
$y = C e^{0, 5 x}$ y=Ce^(0,5x).
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b

Réponse :

y = C e^{0, 5 x}

y=Ce^(0,5x).

Méthode utilisée : $y^{'} = a y \Rightarrow y = C e^{a x}$ y'=ay⇒ y=Ce^(ax).

Erreur fréquente : Oublier la constante.

Avec second membre

Niveau 3 · Type contrôle

Donner les solutions de

y^{'} = - y + 2

y'=-y+2.

Voir la correction

1.
Solution particulière : $- \frac{b}{a} = - \frac{2}{- 1} = 2$ -b/a=-2/(-1)=2.
2.
$y = C e^{- x} + 2$ y=Ce^(-x)+2.
→ Solution particulière constante

Réponse :

y = C e^{- x} + 2

y=Ce^(-x)+2.

Méthode utilisée : $y^{'} = a y + b \Rightarrow y = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ y'=ay+b⇒ y=Ce^(ax)-b/a.

Erreur fréquente : Se tromper de signe sur $- \frac{b}{a}$ -b/a.

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