Primitives et équations différentielles en Terminale spé maths

Primitives et équations différentielles en Terminale spé : cours complet

Une primitive d'une fonction $f$f est une fonction $F$F dont la dérivée vaut $f$f. Les équations différentielles modélisent les phénomènes dont l'évolution dépend de la grandeur elle-même.

Primitive d'une fonction

Définition

Soit $f$f continue sur $I$I. Une primitive $F$F de $f$f est une fonction dérivable sur $I$I telle que $F^{\prime }=f$F' = f.

Théorème

Si $F$F est une primitive de $f$f sur $I$I, alors toutes les primitives de $f$f sur $I$I s'écrivent :

$$F(x)+C,C\in \mathbb{R}$$F(x) + C, C ∈ ℝ

Conséquence

Avec une condition initiale $F(x_0)=y_0$F(x₀) = y₀, la primitive est unique.

Primitives usuelles

Linéarité

$$\text{Primitive de }af+bg=aF+bG$$Primitive de a f + b g = a F + b G

Exemple

$$\int (2x^3+3e^x)dx=\frac{x^4}{2}+3e^x+C$$∫ (2 x³ + 3 e^(x)) dx = x⁴/2 + 3 e^(x) + C

Primitives de fonctions composées

Exemple

$$\int 2x\cdot e^{x^2}dx=e^{x^2}+C$$∫ 2x · e^(x²) dx = e^(x²) + C

$$\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\ln (x^2+1)+C$$∫ 2x/(x² + 1) dx = ln(x² + 1) + C

Équations différentielles

Définition

Une équation différentielle est une équation reliant une fonction $y$y et ses dérivées.

Exemple simple

$$y^{\prime }=f(x)$$y' = f(x)

Solutions : les primitives de $f$f.

Équation $y^{\prime }=ay$y' = ay

Théorème

Les solutions de $y^{\prime }=ay$y' = ay ($a$a constant) sont :

$$y(x)=C{e}^{ax},C\in \mathbb{R}$$y(x) = C e^(ax), C ∈ ℝ

Avec condition initiale

Si $y(x_0)=y_0$y(x₀) = y₀ : $C=y_0{e}^{-a{x}_0}$C = y₀ e^(-a x₀), donc $y(x)=y_0{e}^{a(x-x_0)}$y(x) = y₀ e^(a(x - x₀)).

Exemple

Désintégration radioactive : $N^{\prime }(t)=-\lambda N(t)$N'(t) = -λ N(t), $N(0)=N_0$N(0) = N₀.

$$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$$N(t) = N₀ e^(-λ t)

Équation $y^{\prime }=ay+b$y' = ay + b

Théorème

Les solutions de $y^{\prime }=ay+b$y' = ay + b (avec $a\ne 0$a ≠ 0) sont :

$$y(x)=C{e}^{ax}-\frac{b}{a},C\in \mathbb{R}$$y(x) = C e^(ax) - b/a, C ∈ ℝ

Méthode

1. Solution particulière $y_p=-\frac{b}{a}$yₚ = -b/a (constante).
2. Solutions de l'homogène $y^{\prime }=ay$y' = ay : $y_h=C{e}^{ax}$y_h = C e^(ax).
3. Solution générale : $y=y_p+y_h$y = yₚ + y_h.

Application : modèle de Newton (refroidissement)

$$T^{\prime }(t)=-k(T(t)-T_{\text{ext}})$$T'(t) = -k(T(t) - T_ext)

Solution : $T(t)=T_{\text{ext}}+(T_0-T_{\text{ext}})e^{-kt}$T(t) = T_ext + (T₀ - T_ext) e^(-kt).

Application : circuit RC

Charge d'un condensateur : $RC\dot{q}+q=CE$RC dotq + q = CE, soit $\dot{q}=-\frac{1}{RC}q+\frac{E}{R}$dotq = -1/RC q + E/R.

Solution : $q(t)=CE(1-e^{-t/RC})$q(t) = CE (1 - e^(-t/RC)).

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier la constante $C$C dans une primitive.
• Mauvais signe dans $-\cos$-cos comme primitive de $\sin$sin.
• Oublier $u^{\prime }$u' dans la primitive composée.
• Confondre solution générale et solution particulière.

FAQ — Primitives et équations différentielles

Pourquoi y a-t-il une infinité de primitives ?

Parce que les fonctions $F+C$F + C ont toutes la même dérivée $f$f, quelle que soit la constante $C$C.

Comment vérifier une primitive ?

On la dérive : on doit retrouver $f$f.

À quoi servent les équations différentielles ?

À modéliser presque tous les phénomènes physiques : mécanique, électricité, chimie, biologie, économie.

Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?

Une primitive est une fonction (avec constante). Une intégrale définie est un nombre (utilise des bornes).