Notion

Les équations différentielles

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui relie cette fonction à sa (ou ses) dérivée(s). En terminale, on étudie surtout les équations linéaires du premier ordre, du type $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b, où $a$ a et $b$ b sont des constantes. Leurs solutions sont de la forme $y = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ y=Ce^(ax)-b/a, la constante $C$ C étant fixée par une condition initiale. Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient. Ces équations modélisent les phénomènes d'évolution dont la vitesse dépend de l'état : refroidissement, charge d'un condensateur, croissance de population, désintégration radioactive. Elles font le lien entre les mathématiques et les sciences physiques.

Définitions

Équation différentielle: C'est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ y, et qui fait intervenir sa dérivée $y^{'}$ y'. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions $y$ y qui la vérifient.
Solution générale: C'est l'ensemble de toutes les solutions, qui dépend d'une constante $C$ C. Chaque valeur de $C$ C donne une solution particulière.
Condition initiale: Une condition du type $y (x_{0}) = y_{0}$ y(x₀) = y₀ permet de fixer la constante $C$ C et d'obtenir une solution unique.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Solutions de y' = ay et y' = ay + b →

y^{'} = a y \Rightarrow y = C e^{a x} y^{'} = a y + b \Rightarrow y = C e^{a x} - \frac{b}{a}

y' = ay ⇒ y = C e ^(ax) y' = ay + b ⇒ y = C e ^(ax) - b/aLes solutions générales des deux équations au programme.Solution particulière constante →

y^{'} = a y + b \Rightarrow y_{p} = - \frac{b}{a} (a \neq = 0)

y' = ay + b ⇒ yₚ = -b/a (a ≠ 0)La constante qui annule y' dans l'équation.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Résoudre une équation différentielle →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Équation y' = ay

Niveau 1 · Application directe

Résoudre l'équation différentielle

y^{'} = 2 y

y' = 2y.

Voir la correction

1.
C'est une équation du type $y^{'} = a y$ y' = ay avec $a = 2$ a = 2.
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b
2.
Les solutions sont $y = C e^{2 x}$ y = C e ^(2x), $C \in R$ C ∈ ℝ.

Réponse :

y = C e^{2 x}

y = C e ^(2x),

C \in R

C ∈ ℝ.

Méthode utilisée : $y^{'} = a y \Rightarrow y = C e^{a x}$ y'=ay⇒ y=Ce^(ax).

Erreur fréquente : Oublier la constante $C$ C.

Avec une condition initiale

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

y^{'} = 2 y

y' = 2y avec

y (0) = 3

y(0) = 3.

Voir la correction

1.
La solution générale est $y = C e^{2 x}$ y = C e ^(2x).
→ Solutions de y' = ay et y' = ay + b
2.
Condition : $y (0) = C e^{0} = C = 3$ y(0) = C e ⁰ = C = 3.
3.
Donc $y = 3 e^{2 x}$ y = 3 e ^(2x).

Réponse :

y = 3 e^{2 x}

y = 3 e ^(2x).

Méthode utilisée : On détermine $C$ C avec la condition $y (0) = 3$ y(0)=3.

Erreur fréquente : Laisser $C$ C indéterminé.

Faire les 10 exercices types sur équations différentielles8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une équation différentielle, simplement ?

C'est une équation où l'inconnue n'est pas un nombre mais une fonction, et qui relie cette fonction à sa vitesse de variation (sa dérivée). Résoudre, c'est trouver quelle fonction se comporte de cette façon.

À quoi ça sert dans la vie réelle ?

À modéliser tout ce qui évolue dans le temps : la croissance d'une population, le refroidissement d'un café, la charge d'un condensateur, la désintégration radioactive. La vitesse d'évolution dépend souvent de la quantité présente, ce qui donne une équation différentielle.

Pourquoi la solution contient une exponentielle ?

Parce que l'exponentielle est la seule fonction (à un facteur près) égale à sa propre dérivée. Dès qu'une grandeur varie proportionnellement à elle-même (y' = ay), elle évolue de façon exponentielle.

Pourquoi il y a une constante C ?

Parce qu'il existe une infinité de fonctions solutions, une pour chaque valeur de départ. La constante C représente ce choix. Pour la fixer, il faut une information : la valeur de la fonction à un instant donné (condition initiale).

Comment trouver la constante C ?

On utilise la condition initiale, par exemple y(0) = 5 : on remplace dans la solution générale et on résout pour C. On obtient alors une solution unique.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Les primitives

Tout sur primitives et intégrales en terminale

Primitives usuelles, équations différentielles, calcul intégral et aires sous la courbe.

Le cours

Les notions du thème

Primitives

S'entraîner

Sujets d'examen

Annales Bac Spécialité Maths Terminale

Le chapitre complet, avec fiche et exercices corrigés en PDF :

Primitives et équations différentielles — Terminale spé maths →