Exercices types · Terminale spé maths

Les primitives — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Primitive d'un polynôme

Niveau 1 · Application directe

Déterminer une primitive de

f (x) = 3 x^{2} + 2 x

f(x) = 3x² + 2x.

Voir la correction

1.
On primitive terme par terme avec $\int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1).
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
Primitive de $3 x^{2}$ 3x² : $3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}$ 3· x³/3 = x³. Primitive de $2 x$ 2x : $2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = x^{2}$ 2· x²/2 = x².
→ Linéarité (somme et multiple)
3.
Donc $F (x) = x^{3} + x^{2} + C$ F(x) = x³ + x² + C (on vérifie : $F^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x$ F'(x) = 3x² + 2x).

Réponse :

F (x) = x^{3} + x^{2} + C

F(x) = x³ + x² + C.

Méthode utilisée : On « remonte » la dérivation, sans oublier la constante.

Erreur fréquente : Oublier la constante $+ C$ +C.

Primitives de e^x et 1/x

Niveau 1 · Application directe

Donner une primitive de

f (x) = e^{x}

f(x) = e ^(x), puis de

g (x) = \frac{1}{x}

g(x) = 1/x sur

] 0; + \infty [

]0 ;+∞[.

Voir la correction

1.
$e^{x}$ e ^(x) est sa propre primitive : une primitive de $f$ f est $e^{x} + C$ e ^(x) + C.
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
Une primitive de $\frac{1}{x}$ 1/x est $ln x$ ln x, donc $ln x + C$ ln x + C.

Réponse :

F (x) = e^{x} + C

F(x) = e ^(x) + C ;

G (x) = ln x + C

G(x) = ln x + C.

Primitive vérifiant une condition

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la primitive

F

F de

f (x) = 2 x

f(x) = 2x telle que

F (0) = 5

F(0) = 5.

Voir la correction

1.
Les primitives de $2 x$ 2x sont $F (x) = x^{2} + C$ F(x) = x² + C.
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
On utilise la condition : $F (0) = 0 + C = 5$ F(0) = 0 + C = 5, donc $C = 5$ C = 5.
3.
$F (x) = x^{2} + 5$ F(x) = x² + 5.

Réponse :

F (x) = x^{2} + 5

F(x) = x² + 5.

Méthode utilisée : On écrit la primitive avec $+ C$ +C, puis on détermine $C$ C avec la condition.

Erreur fréquente : Oublier de déterminer $C$ C.

Vérifier une primitive

Niveau 2 · Méthode complète

Montrer que

F (x) = (x - 1) e^{x}

F(x) = (x - 1) e ^(x) est une primitive de

f (x) = x e^{x}

f(x) = x e ^(x).

Voir la correction

1.
Il suffit de dériver $F$ F et de vérifier qu'on retombe sur $f$ f.
→ Définition : F' = f
2.
Règle du produit : $F^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + (x - 1) \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x - 1)$ F'(x) = 1· e ^(x) + (x - 1)· e ^(x) = e ^(x)(1 + x - 1).
3.
$F^{'} (x) = x e^{x} = f (x)$ F'(x) = x e ^(x) = f(x) : $F$ F est bien une primitive de $f$ f.

Réponse :

F^{'} (x) = x e^{x} = f (x)

F'(x) = x e ^(x) = f(x), donc

F

F est une primitive de

f

Primitive de x³

Niveau 1 · Application directe

Donner une primitive de

f (x) = x^{3}

f(x) = x³.

Voir la correction

1.
$\int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) avec $n = 3$ n = 3.
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
$F (x) = \frac{x ^{4}}{4} + C$ F(x) = x⁴/4 + C.

Réponse :

F (x) = \frac{x ^{4}}{4} + C

F(x) = x⁴/4 + C.

Méthode utilisée : Primitive de $x^{n}$ xⁿ : $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ xⁿ⁺¹/(n+1).

Erreur fréquente : Diviser par $n$ n au lieu de $n + 1$ n+1.

Primitive d'un polynôme

Niveau 2 · Méthode complète

Donner une primitive de

f (x) = 6 x^{2} + 4 x - 3

f(x) = 6x² + 4x - 3.

Voir la correction

1.
On primitive terme par terme.
→ Linéarité (somme et multiple)
2.
$F (x) = 6 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} - 3 x = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + C$ F(x) = 6cdotx³/3 + 4cdotx²/2 - 3x = 2x³ + 2x² - 3x + C.

Réponse :

F (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + C

F(x) = 2x³ + 2x² - 3x + C.

Primitive de e^x

Niveau 1 · Application directe

Donner une primitive de

f (x) = e^{x}

f(x) = e ^(x).

Voir la correction

1.
L'exponentielle est sa propre primitive.
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
$F (x) = e^{x} + C$ F(x) = e ^(x) + C.

Réponse :

F (x) = e^{x} + C

F(x) = e ^(x) + C.

Primitive avec condition

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la primitive

F

F de

f (x) = 2 x

f(x) = 2x telle que

F (1) = 5

F(1) = 5.

Voir la correction

1.
Les primitives de $2 x$ 2x sont $F (x) = x^{2} + C$ F(x) = x² + C.
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
$F (1) = 1 + C = 5$ F(1) = 1 + C = 5, donc $C = 4$ C = 4.
3.
$F (x) = x^{2} + 4$ F(x) = x² + 4.

Réponse :

F (x) = x^{2} + 4

F(x) = x² + 4.

Primitive de 1/x²

Niveau 3 · Type contrôle

Donner une primitive de

f (x) = \frac{1}{x ^{2}}

f(x) = 1/x² (pour

x \neq = 0

x ≠ 0).

Voir la correction

1.
$\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ 1/x² = x⁻², et $\int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) avec $n = - 2$ n = -2.
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
$F (x) = \frac{x ^{- 1}}{- 1} = - \frac{1}{x} + C$ F(x) = x⁻¹/(-1) = -1/x + C.

Réponse :

F (x) = - \frac{1}{x} + C

F(x) = -1/x + C.

Méthode utilisée : $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ 1/x²=x⁻², primitive $- \frac{1}{x}$ -1/x.

Erreur fréquente : Confondre avec $\frac{1}{x}$ 1/x (dont la primitive est $ln$ ln).

Problème : distance et vitesse

Niveau 3 · Type contrôle

Un mobile a une vitesse

v (t) = 2 t

v(t) = 2t (m/s). Sa distance parcourue

d (t)

d(t) est une primitive de

v

v, avec

d (0) = 0

d(0) = 0. Exprimer

d (t)

d(t), puis la distance après

3

3 s.

Voir la correction

1.
Une primitive de $2 t$ 2t est $t^{2} + C$ t² + C, donc $d (t) = t^{2} + C$ d(t) = t² + C.
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
$d (0) = 0$ d(0) = 0 donne $C = 0$ C = 0, donc $d (t) = t^{2}$ d(t) = t².
3.
$d (3) = 9$ d(3) = 9 m.

Réponse :

d (t) = t^{2}

d(t) = t² ;

9

9 m après

3

3 s.

Tout sur primitives et intégrales en terminale

Primitives usuelles, équations différentielles, calcul intégral et aires sous la courbe.

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Annales Bac Spécialité Maths Terminale

Besoin de revoir le cours avant de t'entraîner ?

Cours : Les primitives →Primitives et équations différentielles (PDF) →