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Exercices corrigés : Calcul intégral — Terminale spécialité

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Calcul intégral

Niveau: Terminale spécialité
Chapitre: Calcul intégral
Nombre d'exercices: 16 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type bac

L'intégrale $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ∫ₐ^(b) f(x) dx se calcule avec une primitive $F$ F de $f$ f : c'est $F (b) - F (a)$ F(b)-F(a). Quand $f \geq 0$ f≥ 0, elle représente l'aire sous la courbe entre $a$ a et $b$ b. Ces exercices corrigés couvrent calcul d'intégrales, aire, valeur moyenne, linéarité, intégration par parties et problèmes type bac. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Intégrale d'une constante

Application directe

Un mobile se déplace à vitesse constante $v (t) = 2$ v(t)=2 (en m/s) entre les instants $t = 1$ t=1 et $t = 4$ t=4 (en secondes).

La distance parcourue est donnée par l'intégrale $\int_{1}^{4} 2 d t$ ∫₁⁴ 2 dt.

1.Donner une primitive de la fonction constante $t \mapsto 2$ t↦ 2.
2.En déduire la valeur de $\int_{1}^{4} 2 d t$ ∫₁⁴ 2 dt.

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Correction détaillée

1
On cherche une primitive de la fonction constante $f (x) = 2$ f(x)=2.
Une fonction dont la dérivée vaut $2$ 2 est $F (x) = 2 x$ F(x)=2x (en effet $F^{'} (x) = 2$ F'(x)=2).
2
On applique la formule $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ ∫ₐ^(b) f(x) dx = [F(x)]ₐ^(b) = F(b)-F(a) :
3
$\int_{1}^{4} 2 d x = [2 x]_{1}^{4} = F (4) - F (1) = 2 \times 4 - 2 \times 1 = 8 - 2 = 6$ ∫₁⁴ 2 dx = [2x]₁⁴ = F(4)-F(1) = 2× 4 - 2× 1 = 8-2 = 6.

Réponse :

\int_{1}^{4} 2 d x = 6

∫₁⁴ 2 dx = 6.

Rappel de cours : $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ ∫ₐ^(b) f(x) dx = F(b)-F(a) où $F$ F est une primitive de $f$ f. On note souvent $[F (x)]_{a}^{b}$ [F(x)]ₐ^(b).

Exercice 2 — Intégrale d'un monôme

Application directe

On considère la fonction identité $f (x) = x$ f(x)=x sur l'intervalle $[0; 2]$ [0;2].

On veut calculer l'intégrale $\int_{0}^{2} x d x$ ∫₀² x dx, qui correspond à l'aire du triangle sous la droite $y = x$ y=x.

1.Déterminer une primitive $F$ F de la fonction $f (x) = x$ f(x)=x.
2.Calculer $\int_{0}^{2} x d x$ ∫₀² x dx à l'aide de $[F (x)]_{0}^{2}$ [F(x)]₀².

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1
Une primitive de $x$ x est $F (x) = \frac{x ^{2}}{2}$ F(x)=x²/2 : en dérivant, $F^{'} (x) = \frac{2 x}{2} = x$ F'(x)=2x/2=x. ✓
2
On évalue entre les bornes : $\int_{0}^{2} x d x = [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{2} = \frac{2 ^{2}}{2} - \frac{0 ^{2}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{0}{2} = 2$ ∫₀² x dx = [x²/2]₀² = 2²/2-0²/2 = 4/2-0/2 = 2.

Réponse :

\int_{0}^{2} x d x = 2

∫₀² x dx = 2.

Rappel de cours : On calcule la primitive, on remplace par la borne du haut, on soustrait la valeur en la borne du bas.

Exercice 3 — Intégrale d'un polynôme

Application directe

Soit $f (x) = 3 x^{2} + 1$ f(x)=3x²+1, une fonction polynôme du second degré.

On souhaite calculer son intégrale sur $[0; 1]$ [0;1] : $\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 1) d x$ ∫₀¹ (3x²+1) dx.

1.Donner une primitive $F$ F de $f$ f en primitivant terme à terme.
2.En déduire la valeur de $\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 1) d x$ ∫₀¹ (3x²+1) dx.

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1
On primitive terme à terme.
Une primitive de $3 x^{2}$ 3x² est $x^{3}$ x³ (car $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ (x³)'=3x²), et une primitive de $1$ 1 est $x$ x.
Donc $F (x) = x^{3} + x$ F(x)=x³+x.
2
On évalue : $\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 1) d x = [x^{3} + x]_{0}^{1} = (1^{3} + 1) - (0^{3} + 0) = (1 + 1) - (0 + 0) = 2$ ∫₀¹ (3x²+1) dx = [x³+x]₀¹ = (1³+1)-(0³+0) = (1+1)-(0+0) = 2.

Réponse :

\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 1) d x = 2

∫₀¹ (3x²+1) dx = 2.

Rappel de cours : Une primitive de $3 x^{2}$ 3x² est $x^{3}$ x³ : pratique car le $3$ 3 « disparaît ». Toujours vérifier en dérivant.

Exercice 4 — Intégrale avec exponentielle

À maîtriser

On étudie la fonction exponentielle $f (x) = e^{x}$ f(x)=e^(x), centrale en Terminale.

On veut calculer l'aire sous sa courbe entre $0$ 0 et $1$ 1, c'est-à-dire $\int_{0}^{1} e^{x} d x$ ∫₀¹ e^(x) dx.

1.Rappeler une primitive de la fonction $x \mapsto e^{x}$ x↦ e^(x).
2.Calculer $\int_{0}^{1} e^{x} d x$ ∫₀¹ e^(x) dx et en donner une valeur approchée.

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1
La fonction exponentielle est sa propre primitive : une primitive de $e^{x}$ e^(x) est $F (x) = e^{x}$ F(x)=e^(x).
2
On évalue entre les bornes : $\int_{0}^{1} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$ ∫₀¹ e^(x) dx = [e^(x)]₀¹ = e¹-e⁰ = e-1.
3
Numériquement, $e \approx 2, 718$ e≈ 2,718, donc $e - 1 \approx 1, 72$ e-1≈ 1,72.

Réponse :

\int_{0}^{1} e^{x} d x = e - 1 \approx 1, 72

∫₀¹ e^(x) dx = e-1≈ 1,72.

Rappel de cours : $e^{x}$ e^(x) est sa propre primitive. $e^{0} = 1$ e⁰=1.

Exercice 5 — Intégrale avec 1/x

À maîtriser

On considère la fonction inverse $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x)=1/x sur $] 0; + \infty [$ ]0;+∞[.

On veut calculer l'aire sous sa courbe entre $x = 1$ x=1 et $x = e$ x=e, soit $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ ∫₁ᵉ 1/x dx.

1.Donner une primitive de $\frac{1}{x}$ 1/x sur $] 0; + \infty [$ ]0;+∞[.
2.En déduire la valeur de $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ ∫₁ᵉ 1/x dx.

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1
Sur $] 0; + \infty [$ ]0;+∞[, une primitive de $\frac{1}{x}$ 1/x est $F (x) = ln (x)$ F(x)=ln(x) (par définition, $(ln (x))^{'} = \frac{1}{x}$ (ln(x))'=1/x).
2
On évalue : $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = [ln (x)]_{1}^{e} = ln (e) - ln (1)$ ∫₁ᵉ 1/x dx = [ln(x)]₁ᵉ = ln(e) - ln(1).
3
Or $ln (e) = 1$ ln(e) = 1 et $ln (1) = 0$ ln(1) = 0, donc le résultat est $1 - 0 = 1$ 1-0 = 1.

Réponse :

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = 1

∫₁ᵉ 1/x dx = 1.

Rappel de cours : $ln (e) = 1$ ln(e) = 1 et $ln (1) = 0$ ln(1) = 0. C'est l'intégrale « qui vaut exactement $1$ 1 ».

Exercice 6 — Linéarité de l'intégrale

À maîtriser

Deux fonctions $f$ f et $g$ g sont telles que $\int_{0}^{1} f = 3$ ∫₀¹ f = 3 et $\int_{0}^{1} g = - 2$ ∫₀¹ g = -2.

Sans connaître $f$ f ni $g$ g, on peut calculer l'intégrale d'une combinaison linéaire grâce à la propriété de linéarité.

1.Énoncer la propriété de linéarité permettant de décomposer $\int_{0}^{1} (2 f + g)$ ∫₀¹ (2f+g).
2.Calculer $\int_{0}^{1} (2 f + g)$ ∫₀¹ (2f+g).

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1
Par linéarité de l'intégrale, on peut sortir les constantes et séparer la somme : $\int_{0}^{1} (2 f + g) = 2 \int_{0}^{1} f + \int_{0}^{1} g$ ∫₀¹ (2f+g) = 2∫₀¹ f + ∫₀¹ g.
2
On remplace par les valeurs données : $= 2 \times 3 + (- 2) = 6 - 2 = 4$ = 2× 3 + (-2) = 6-2 = 4.

Réponse :

\int_{0}^{1} (2 f + g) = 4

∫₀¹ (2f+g) = 4.

Rappel de cours : Linéarité : $\int (α f + β g) = α \int f + β \int g$ ∫(α f+β g)=α∫ f+β∫ g. On peut « sortir » les constantes et séparer les sommes.

Exercice 7 — Aire sous une courbe

Type contrôle

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole d'équation $f (x) = x^{2}$ f(x)=x².

On veut mesurer l'aire du domaine $D$ D compris entre cette courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales $x = 0$ x=0 et $x = 3$ x=3.

1.Justifier que cette aire est égale à $\int_{0}^{3} x^{2} d x$ ∫₀³ x² dx.
2.Calculer cette intégrale et conclure sur l'aire en unités d'aire.

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1
Sur $[0; 3]$ [0;3], on a $f (x) = x^{2} \geq 0$ f(x)=x²≥ 0 : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
L'aire du domaine est donc $\int_{0}^{3} x^{2} d x$ ∫₀³ x² dx.
2
Une primitive de $x^{2}$ x² est $\frac{x ^{3}}{3}$ x³/3.
On évalue : $[\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{3} = \frac{3 ^{3}}{3} - \frac{0 ^{3}}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$ [x³/3]₀³ = 3³/3-0³/3 = 27/3-0 = 9.

Réponse : L'aire vaut

9

9 unités d'aire.

Rappel de cours : Si $f \geq 0$ f≥ 0 sur $[a; b]$ [a;b], l'aire sous la courbe est $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ∫ₐ^(b) f(x) dx (en unités d'aire).

Exercice 8 — Aire entre deux courbes

Type contrôle

On considère les courbes des fonctions $f (x) = x$ f(x)=x (une droite) et $g (x) = x^{2}$ g(x)=x² (une parabole) sur l'intervalle $[0; 1]$ [0;1].

Ces deux courbes délimitent un domaine dont on cherche l'aire.

1.Déterminer, sur $[0; 1]$ [0;1], laquelle des deux courbes est au-dessus de l'autre.
2.Exprimer l'aire cherchée sous forme d'une intégrale, puis la calculer.

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1
Sur $[0; 1]$ [0;1], on compare : $f (x) - g (x) = x - x^{2} = x (1 - x)$ f(x)-g(x)=x-x²=x(1-x).
Comme $x \geq 0$ x≥ 0 et $1 - x \geq 0$ 1-x≥ 0 sur cet intervalle, $x - x^{2} \geq 0$ x-x²≥ 0 : la courbe de $f$ f est au-dessus de celle de $g$ g.
2
L'aire est l'intégrale de la différence (courbe du haut moins courbe du bas) : $Aire = \int_{0}^{1} (f - g) d x = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$ Aire =∫₀¹ (f-g) dx = ∫₀¹ (x-x²) dx.
3
Une primitive de $x - x^{2}$ x-x² est $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}$ x²/2-x³/3.
On évalue : $[\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ [x²/2-x³/3]₀¹ = (1/2-1/3)-0 = 1/2-1/3 = 1/6.

Réponse : L'aire entre les deux courbes vaut

\frac{1}{6}

1/6 unité d'aire.

Rappel de cours : Aire entre deux courbes : $\int_{a}^{b} (courbe du haut - courbe du bas) d x$ ∫ₐ^(b) ( courbe du haut - courbe du bas ) dx. Déterminer d'abord laquelle est au-dessus.

Exercice 9 — Valeur moyenne

Type contrôle

On reprend la fonction $f (x) = x^{2}$ f(x)=x² sur l'intervalle $[0; 3]$ [0;3].

On veut déterminer sa valeur moyenne $μ$ μ, c'est-à-dire la hauteur du rectangle de base $[0; 3]$ [0;3] ayant la même aire que le domaine sous la courbe.

1.Écrire la formule donnant la valeur moyenne $μ$ μ de $f$ f sur $[0; 3]$ [0;3].
2.Sachant que $\int_{0}^{3} x^{2} d x = 9$ ∫₀³ x² dx = 9, calculer $μ$ μ.

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1
La valeur moyenne de $f$ f sur $[a; b]$ [a;b] est $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ μ = 1/(b-a)∫ₐ^(b) f(x) dx.
Ici $a = 0$ a=0 et $b = 3$ b=3, donc $μ = \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} x^{2} d x$ μ = 1/(3-0)∫₀³ x² dx.
2
On a calculé précédemment $\int_{0}^{3} x^{2} d x = 9$ ∫₀³ x² dx = 9, donc $μ = \frac{9}{3} = 3$ μ = 9/3 = 3.

Réponse : La valeur moyenne de

f

f sur

[0; 3]

[0;3] est

3

Rappel de cours : Valeur moyenne de $f$ f sur $[a; b]$ [a;b] : $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ μ=1/(b-a)∫ₐ^(b) f. C'est la « hauteur » du rectangle de même aire.

Exercice 10 — Intégrale par reconnaissance u'/u

Type contrôle

On veut calculer $\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$ ∫₀¹ 2x/(x²+1) dx.

Plutôt que de chercher une primitive « à l'aveugle », on reconnaît une forme $\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u, dont une primitive est $ln ∣ u ∣$ ln|u|.

1.Identifier la fonction $u$ u telle que l'intégrande s'écrive $\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u, et en déduire une primitive.
2.Calculer $\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$ ∫₀¹ 2x/(x²+1) dx.

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Correction détaillée

1
On pose $u = x^{2} + 1$ u=x²+1, alors $u^{'} = 2 x$ u'=2x.
L'intégrande $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ 2x/(x²+1) est exactement de la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u.
Comme $u = x^{2} + 1 > 0$ u=x²+1>0, une primitive est $ln (x^{2} + 1)$ ln(x²+1).
2
On évalue : $\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = [ln (x^{2} + 1)]_{0}^{1} = ln (1^{2} + 1) - ln (0^{2} + 1) = ln (2) - ln (1) = ln (2)$ ∫₀¹ 2x/(x²+1) dx = [ln(x²+1)]₀¹ = ln(1²+1) - ln(0²+1) = ln(2) - ln(1) = ln(2).

Réponse :

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (2)

∫₀¹ 2x/(x²+1) dx = ln(2).

Rappel de cours : Reconnaître la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u avant de calculer évite de chercher une primitive « à l'aveugle ».

Exercice 11 — Type bac : intégration par parties

Type bac / défi

On veut calculer l'intégrale $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ ∫₀¹ x e^(x) dx.

Le produit $x e^{x}$ x e^(x) ne se primitive pas directement : on utilise la technique de l'intégration par parties (IPP).

1.Choisir $u$ u et $v^{'}$ v', puis écrire la formule d'intégration par parties pour cette intégrale.
2.Mener le calcul jusqu'au résultat final.

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1
La formule d'IPP est $\int_{a}^{b} u v^{'} = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v$ ∫ₐ^(b) u v' = [u v]ₐ^(b) - ∫ₐ^(b) u' v.
On choisit $u = x$ u=x (qui se simplifie en dérivant : $u^{'} = 1$ u'=1) et $v^{'} = e^{x}$ v'=e^(x) (qu'on sait primitiver : $v = e^{x}$ v=e^(x)).
2
On applique : $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 1 \cdot e^{x} d x$ ∫₀¹ x e^(x) dx = [x e^(x)]₀¹ - ∫₀¹ 1· e^(x) dx.
3
Le terme tout intégré : $[x e^{x}]_{0}^{1} = 1 \cdot e^{1} - 0 \cdot e^{0} = e - 0 = e$ [x e^(x)]₀¹ = 1· e¹ - 0· e⁰ = e - 0 = e.
L'intégrale restante : $\int_{0}^{1} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e - 1$ ∫₀¹ e^(x) dx = [e^(x)]₀¹ = e-1.
4
On rassemble : $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1$ ∫₀¹ x e^(x) dx = e-(e-1) = e-e+1 = 1.

Réponse :

\int_{0}^{1} x e^{x} d x = 1

∫₀¹ x e^(x) dx = 1.

Rappel de cours : IPP : $\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$ ∫ u v' = [uv]-∫ u'v. On choisit $u$ u qui se simplifie en dérivant (ici $x \to 1$ x→ 1) et $v^{'}$ v' qu'on sait primitiver.

Exercice 12 — Type bac : IPP avec logarithme

Type bac / défi

La fonction $ln$ ln n'a pas de primitive « évidente ».

Pour calculer $\int_{1}^{e} ln (x) d x$ ∫₁ᵉ ln(x) dx, on utilise une intégration par parties astucieuse en posant $v^{'} = 1$ v'=1.

1.Poser $u = ln (x)$ u=ln(x) et $v^{'} = 1$ v'=1, puis écrire la formule d'IPP.
2.Achever le calcul de $\int_{1}^{e} ln (x) d x$ ∫₁ᵉ ln(x) dx.

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Correction détaillée

1
On pose $u = ln (x)$ u=ln(x) (donc $u^{'} = \frac{1}{x}$ u'=1/x) et $v^{'} = 1$ v'=1 (donc $v = x$ v=x).
La formule d'IPP donne $\int_{1}^{e} u v^{'} = [u v]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} u^{'} v$ ∫₁ᵉ u v' = [u v]₁ᵉ - ∫₁ᵉ u' v.
2
Soit $\int_{1}^{e} ln (x) d x = [x ln (x)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} d x = [x ln (x)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 d x$ ∫₁ᵉ ln(x) dx = [xln(x)]₁ᵉ - ∫₁ᵉ x·1/x dx = [xln(x)]₁ᵉ - ∫₁ᵉ 1 dx.
3
Le terme tout intégré : $[x ln (x)]_{1}^{e} = e ln (e) - 1 \cdot ln (1) = e \times 1 - 0 = e$ [xln(x)]₁ᵉ = eln(e) - 1·ln(1) = e× 1 - 0 = e.
L'intégrale restante : $\int_{1}^{e} 1 d x = [x]_{1}^{e} = e - 1$ ∫₁ᵉ 1 dx = [x]₁ᵉ = e-1.
4
On conclut : $\int_{1}^{e} ln (x) d x = e - (e - 1) = 1$ ∫₁ᵉ ln(x) dx = e-(e-1) = 1.

Réponse :

\int_{1}^{e} ln (x) d x = 1

∫₁ᵉ ln(x) dx = 1.

Rappel de cours : Pour intégrer $ln (x)$ ln(x), l'astuce est l'IPP avec $u = ln (x)$ u=ln(x) et $v^{'} = 1$ v'=1 : le $\frac{1}{x}$ 1/x simplifie le $x$ x.

Exercice 13 — Type bac : aire et valeur exacte

Type bac / défi

On considère la fonction $f (x) = (2 - x) e^{x}$ f(x)=(2-x)e^(x) définie sur $[0; 2]$ [0;2].

On admet que $F (x) = (3 - x) e^{x}$ F(x)=(3-x)e^(x) est une primitive de $f$ f.

On cherche l'aire exacte du domaine situé sous la courbe de $f$ f sur cet intervalle.

1.Justifier que $f (x) \geq 0$ f(x)≥ 0 sur $[0; 2]$ [0;2], de sorte que l'aire vaut $\int_{0}^{2} f (x) d x$ ∫₀² f(x) dx.
2.Vérifier que $F$ F est bien une primitive de $f$ f, puis calculer l'aire.

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Correction détaillée

1
Sur $[0; 2]$ [0;2], on a $2 - x \geq 0$ 2-x≥ 0 et $e^{x} > 0$ e^(x)>0, donc le produit $f (x) = (2 - x) e^{x} \geq 0$ f(x)=(2-x)e^(x)≥ 0 : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, l'aire vaut $\int_{0}^{2} f (x) d x$ ∫₀² f(x) dx.
2
Vérification de $F$ F : $F^{'} (x) = (- 1) \cdot e^{x} + (3 - x) \cdot e^{x} = (- 1 + 3 - x) e^{x} = (2 - x) e^{x} = f (x)$ F'(x) = (-1)· e^(x) + (3-x)· e^(x) = (-1+3-x)e^(x) = (2-x)e^(x) = f(x). ✓
3
On évalue : $\int_{0}^{2} f = [F (x)]_{0}^{2} = F (2) - F (0) = (3 - 2) e^{2} - (3 - 0) e^{0} = 1 \cdot e^{2} - 3 \cdot 1 = e^{2} - 3$ ∫₀² f = [F(x)]₀² = F(2)-F(0) = (3-2)e²-(3-0)e⁰ = 1· e² - 3· 1 = e²-3.
4
Numériquement, $e^{2} \approx 7, 389$ e²≈ 7,389, donc $e^{2} - 3 \approx 4, 39$ e²-3≈ 4,39.

Réponse : L'aire vaut

e^{2} - 3 \approx 4, 39

e²-3≈ 4,39 unités d'aire.

Rappel de cours : Quand l'énoncé fournit une primitive, on la vérifie en dérivant, puis on applique $F (b) - F (a)$ F(b)-F(a). Penser à justifier le signe de $f$ f pour parler d'aire.

Exercice 14 — Type bac : intégrale d'un cosinus

Type bac / défi

On étudie la fonction trigonométrique $f (x) = cos x$ f(x)=cos x sur l'intervalle $[0; \frac{π}{2}]$ [0;π/2].

On veut calculer l'aire sous sa courbe, donnée par $\int_{0}^{π /2} cos x d x$ ∫₀^(π/2)cos x dx.

1.Donner une primitive de la fonction cosinus.
2.Calculer $\int_{0}^{π /2} cos x d x$ ∫₀^(π/2)cos x dx.

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Correction détaillée

1
Une primitive de $cos x$ cos x est $F (x) = sin x$ F(x)=sin x (car $(sin x)^{'} = cos x$ (sin x)'=cos x).
2
On évalue entre les bornes : $\int_{0}^{π /2} cos x d x = [sin x]_{0}^{π /2} = sin \frac{π}{2} - sin 0$ ∫₀^(π/2)cos x dx=[sin x]₀^(π/2)=sinπ/2-sin 0.
3
Or $sin \frac{π}{2} = 1$ sinπ/2=1 et $sin 0 = 0$ sin 0=0, donc le résultat est $1 - 0 = 1$ 1-0=1.

Réponse :

\int_{0}^{π /2} cos x d x = 1

∫₀^(π/2)cos x dx=1.

Rappel de cours : Primitive de $cos$ cos : $sin$ sin. $sin \frac{π}{2} = 1$ sinπ/2=1, $sin 0 = 0$ sin 0=0.

Exercice 15 — Type bac : valeur moyenne d'une exponentielle

Type bac / défi

On considère la fonction $f (x) = e^{x}$ f(x)=e^(x) sur l'intervalle $[0; 1]$ [0;1].

On souhaite déterminer sa valeur moyenne $μ$ μ sur cet intervalle.

1.Écrire la formule de la valeur moyenne $μ$ μ de $f$ f sur $[0; 1]$ [0;1].
2.Calculer $μ$ μ et en donner une valeur approchée.

Voir la correction

Correction détaillée

1
La valeur moyenne de $f$ f sur $[a; b]$ [a;b] est $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ μ=1/(b-a)∫ₐ^(b) f.
Ici $a = 0$ a=0, $b = 1$ b=1, donc $μ = \frac{1}{1 - 0} \int_{0}^{1} e^{x} d x = \int_{0}^{1} e^{x} d x$ μ=1/(1-0)∫₀¹ e^(x) dx = ∫₀¹ e^(x) dx.
2
On calcule l'intégrale : $\int_{0}^{1} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$ ∫₀¹ e^(x) dx=[e^(x)]₀¹=e¹-e⁰=e-1.
Donc $μ = e - 1$ μ=e-1.
3
Numériquement, $μ \approx 2, 718 - 1 \approx 1, 72$ μ≈ 2,718-1≈ 1,72.

Réponse :

μ = e - 1 \approx 1, 72

μ=e-1≈ 1,72.

Rappel de cours : Valeur moyenne de $f$ f sur $[a; b]$ [a;b] : $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ 1/(b-a)∫ₐ^(b) f.

Exercice 16 — Type bac : aire, intégration par parties et valeur moyenne

Type bac / défi

Soit $f$ f définie sur $[0; 1]$ [0;1] par $f (x) = x e^{x}$ f(x)=x e^(x), de courbe $C$ C.

1.Justifier que $f$ f est positive et croissante sur $[0; 1]$ [0;1].
2.Vérifier que $F (x) = (x - 1) e^{x}$ F(x)=(x-1)e^(x) est une primitive de $f$ f sur $[0; 1]$ [0;1].
3.En déduire l'aire $A$ A, en unités d'aire, du domaine compris entre $C$ C, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ x=0 et $x = 1$ x=1.
4.À l'aide d'une intégration par parties, calculer $J = \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x$ J=∫₀¹x²e^(x) dx.
5.Déterminer la valeur moyenne $m$ m de $f$ f sur $[0; 1]$ [0;1].

Voir la correction

Correction détaillée

1
Sur $[0; 1]$ [0;1], $x \geq 0$ x≥0 et $e^{x} > 0$ e^(x)>0, donc $f (x) \geq 0$ f(x)≥0.
De plus $f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x} > 0$ f'(x)=e^(x)+xe^(x)=(x+1)e^(x)>0 : $f$ f est croissante.
2
$F^{'} (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x} = e^{x} [1 + (x - 1)] = x e^{x} = f (x)$ F'(x)=e^(x)+(x-1)e^(x)=e^(x)[1+(x-1)]=x e^(x)=f(x) : $F$ F est bien une primitive de $f$ f.
3
Comme $f \geq 0$ f≥0 sur $[0; 1]$ [0;1], $A = \int_{0}^{1} f (x) d x = F (1) - F (0) = 0 \cdot e - (- 1) \cdot 1 = 1$ A =∫₀¹f(x) dx=F(1)-F(0)=0· e-(-1)·1=1 u.a.
4
IPP avec $u = x^{2}$ u=x² ( $u^{'} = 2 x$ u'=2x) et $v^{'} = e^{x}$ v'=e^(x) ( $v = e^{x}$ v=e^(x)) : $J = [x^{2} e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 x e^{x} d x = e - 2 \int_{0}^{1} x e^{x} d x$ J=[x²e^(x)]₀¹-∫₀¹2x e^(x) dx=e-2∫₀¹x e^(x) dx.
Or $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = A = 1$ ∫₀¹xe^(x) dx= A =1, donc $J = e - 2$ J=e-2.
5
$m = \frac{1}{1 - 0} \int_{0}^{1} f (x) d x = A = 1$ m=1/(1-0)∫₀¹f(x) dx= A =1.

Réponse :

A = 1

A =1 u.a. ;

J = e - 2 \approx 0, 72

J=e-2≈0,72 ; valeur moyenne

m = 1

m=1.

Rappel de cours : Aire avec $f \geq 0$ f≥0 : $F (b) - F (a)$ F(b)-F(a). Pour $\int x^{2} e^{x}$ ∫ x²e^(x), une IPP la ramène à $\int x e^{x}$ ∫ x e^(x) déjà calculée.

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