Notion

Les primitives

Une primitive d'une fonction $f$ f sur un intervalle est une fonction $F$ F dont la dérivée est $f$ f, c'est-à-dire telle que $F^{'} = f$ F'=f. C'est l'opération inverse de la dérivation. Une fonction continue admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante : si $F$ F est une primitive de $f$ f, alors $F + k$ F+k l'est aussi pour tout réel $k$ k. Pour en déterminer une, on reconnaît les formules usuelles à l'envers, ou les formes $u^{'} e^{u}$ u'e^(u), $\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u, $u^{'} u^{n}$ u'uⁿ. Les primitives sont l'outil fondamental du calcul intégral : l'intégrale $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ∫ₐ^(b) f(x) dx se calcule par $F (b) - F (a)$ F(b)-F(a), et elles servent à résoudre des équations différentielles.

Définitions

Primitive: Une primitive de $f$ f sur un intervalle est une fonction $F$ F dérivable telle que $F^{'} (x) = f (x)$ F'(x) = f(x) pour tout $x$ x de l'intervalle. Primitiver, c'est « remonter » la dérivation.
Constante d'intégration: Si $F$ F est une primitive de $f$ f, alors $F + C$ F + C en est aussi une, pour n'importe quelle constante $C$ C (car la dérivée d'une constante est nulle). Une fonction a donc une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante.
Primitive vérifiant une condition: Pour obtenir une primitive unique, on impose une condition, par exemple $F (x_{0}) = y_{0}$ F(x₀) = y₀. Elle permet de déterminer la constante $C$ C.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Tableau des primitives →

\int k = k x \int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} \int \frac{1}{x} = ln x \int e^{x} = e^{x}

∫ k = kx ∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) ∫ 1/x = ln x ∫ e ^(x) = e ^(x)L'essentiel des primitives à retenir, à une constante près.Primitives des fonctions usuelles →

\int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} (n \neq = - 1) \int \frac{1}{x} = ln x \int e^{x} = e^{x}

∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ -1) ∫ 1/x = ln x ∫ e ^(x) = e ^(x)Le tableau des primitives à connaître (à une constante près).Définition : F' = f →

F primitive de f ⟺ F^{'} = f

F primitive de f ⇔ F' = fUne primitive est une fonction dont la dérivée redonne f.Linéarité (somme et multiple) →

\int (u + v) = \int u + \int v \int k u = k \int u

∫ (u + v) = ∫ u + ∫ v ∫ k u = k∫ uOn primitive terme par terme.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Calculer une primitive →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Primitive d'un polynôme

Niveau 1 · Application directe

Déterminer une primitive de

f (x) = 3 x^{2} + 2 x

f(x) = 3x² + 2x.

Voir la correction

1.
On primitive terme par terme avec $\int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1).
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
Primitive de $3 x^{2}$ 3x² : $3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}$ 3· x³/3 = x³. Primitive de $2 x$ 2x : $2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = x^{2}$ 2· x²/2 = x².
→ Linéarité (somme et multiple)
3.
Donc $F (x) = x^{3} + x^{2} + C$ F(x) = x³ + x² + C (on vérifie : $F^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x$ F'(x) = 3x² + 2x).

Réponse :

F (x) = x^{3} + x^{2} + C

F(x) = x³ + x² + C.

Méthode utilisée : On « remonte » la dérivation, sans oublier la constante.

Erreur fréquente : Oublier la constante $+ C$ +C.

Primitives de e^x et 1/x

Niveau 1 · Application directe

Donner une primitive de

f (x) = e^{x}

f(x) = e ^(x), puis de

g (x) = \frac{1}{x}

g(x) = 1/x sur

] 0; + \infty [

]0 ;+∞[.

Voir la correction

1.
$e^{x}$ e ^(x) est sa propre primitive : une primitive de $f$ f est $e^{x} + C$ e ^(x) + C.
→ Primitives des fonctions usuelles
2.
Une primitive de $\frac{1}{x}$ 1/x est $ln x$ ln x, donc $ln x + C$ ln x + C.

Réponse :

F (x) = e^{x} + C

F(x) = e ^(x) + C ;

G (x) = ln x + C

G(x) = ln x + C.

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Questions fréquentes

C'est quoi une primitive, simplement ?

C'est l'opération inverse de la dérivée. Si dériver permet de passer d'une fonction à sa « vitesse de variation », primitiver fait le chemin inverse : on remonte de la dérivée à la fonction de départ.

Pourquoi ajoute-t-on « + C » ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle : ajouter n'importe quel nombre à une primitive en donne une autre tout aussi valable. Il y a donc une infinité de primitives, qui ne diffèrent que par cette constante C.

Comment vérifier qu'on a la bonne primitive ?

On dérive le résultat : si on retombe sur la fonction de départ, c'est gagné. C'est le moyen le plus sûr de contrôler son calcul.

Comment trouver la valeur de C ?

Il faut une information supplémentaire, par exemple la valeur de la primitive en un point (F(0) = 5). On remplace dans l'expression pour calculer C et obtenir une primitive unique.

À quoi servent les primitives ?

Surtout à calculer des intégrales, donc des aires sous une courbe, ou des grandeurs cumulées (une distance à partir d'une vitesse, par exemple). La primitive est l'outil de base du calcul intégral.

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