Calcul intégral en Terminale spé maths

Le calcul intégral en Terminale spé : cours complet

L'intégrale d'une fonction permet de calculer une aire, une valeur moyenne, ou de cumuler une grandeur. C'est l'outil central de l'analyse.

Intégrale d'une fonction positive

Définition (géométrique)

Soit $f$f continue et positive sur $[a;b]$[a ; b]. L'intégrale :

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$∫ₐ^(b) f(x) dx

est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites $x=a$x = a et $x=b$x = b.

Extension au cas général

Si $f$f change de signe, l'intégrale est l'aire algébrique (positive si $f>0$f > 0, négative si $f<0$f < 0).

Théorème fondamental du calcul intégral

Énoncé

Soit $f$f continue sur $[a;b]$[a ; b] et $F$F une primitive de $f$f :

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$∫ₐ^(b) f(x) dx = F(b) - F(a)

On note souvent : $[F(x){]}_a^b$[F(x)]ₐ^(b).

Exemple

$${\int }_0^2{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}$$∫₀² x² dx = [ x³/3 ]₀² = 8/3 - 0 = 8/3

Propriétés de l'intégrale

Linéarité

$${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)dx=\alpha {\int }_a^{b}fdx+\beta {\int }_a^{b}gdx$$∫ₐ^(b) (α f + β g) dx = α ∫ₐ^(b) f dx + β ∫ₐ^(b) g dx

Inversion des bornes

$${\int }_a^{b}fdx=-{\int }_b^{a}fdx$$∫ₐ^(b) f dx = -∫_b^(a) f dx

Relation de Chasles

$${\int }_a^{b}fdx+{\int }_b^{c}fdx={\int }_a^{c}fdx$$∫ₐ^(b) f dx + ∫_b^(c) f dx = ∫ₐ^(c) f dx

Positivité

Si $f\ge 0$f ≥ 0 sur $[a;b]$[a ; b] avec $a\le b$a ≤ b, alors ${\int }_a^{b}fdx\ge 0$∫ₐ^(b) f dx ≥ 0.

Croissance

Si $f\le g$f ≤ g sur $[a;b]$[a ; b] avec $a\le b$a ≤ b, alors ${\int }_a^{b}fdx\le {\int }_a^{b}gdx$∫ₐ^(b) f dx ≤ ∫ₐ^(b) g dx.

Valeur moyenne d'une fonction

$$\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$μ = 1/(b - a) ∫ₐ^(b) f(x) dx

Interprétation

C'est la valeur moyenne de $f$f sur $[a;b]$[a ; b]. C'est aussi la hauteur du rectangle de base $[a;b]$[a ; b] ayant la même aire que sous la courbe.

Exemple

Vitesse moyenne entre $0$0 et $T$T : $\overline{v}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}v(t)dt$v̅ = 1/T ∫₀^(T) v(t) dt.

Intégration par parties

$${\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx$$∫ₐ^(b) u'(x) v(x) dx = [u(x) v(x)]ₐ^(b) - ∫ₐ^(b) u(x) v'(x) dx

Exemple

$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$$∫₀¹ x e^(x) dx

On pose $u^{\prime }=e^x$u' = e^(x) (donc $u=e^x$u = e^(x)), $v=x$v = x (donc $v^{\prime }=1$v' = 1) :

$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$$∫₀¹ x e^(x) dx = [x e^(x)]₀¹ - ∫₀¹ e^(x) dx = e - (e - 1) = 1

Calcul d'aires

Aire entre courbe et axe

Si $f\ge 0$f ≥ 0 : $A={\int }_a^{b}f(x)dx$A = ∫ₐ^(b) f(x) dx.

Si $f\le 0$f ≤ 0 : $A=-{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^b(-f(x))dx$A = -∫ₐ^(b) f(x) dx = ∫ₐ^(b) (-f(x)) dx.

Aire entre deux courbes

Si $f\ge g$f ≥ g sur $[a;b]$[a ; b] :

$$A={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$$A = ∫ₐ^(b) (f(x) - g(x)) dx

Exemple

Aire entre $f(x)=x$f(x) = x et $g(x)=x^2$g(x) = x² sur $[0;1]$[0 ; 1] :

$$A={\int }_0^1(x-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$A = ∫₀¹ (x - x²) dx = [ x²/2 - x³/3 ]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6

Intégrales et primitives

$${\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$$∫ₐ^(x) f(t) dt = F(x) - F(a)

est une primitive de $f$f qui s'annule en $a$a.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier les bornes : l'intégrale définie a deux bornes.
• Mauvaise primitive : vérifier en dérivant.
• Inverser les bornes sans changer de signe.
• Confondre $\int f$∫ f (primitive) et ${\int }_a^{b}f$∫ₐ^(b) f (nombre).

FAQ — Calcul intégral

À quoi sert l'intégrale ?

À calculer des aires, des valeurs moyennes, des distances parcourues, des quantités cumulées (population, énergie, courant…).

Comment retenir l'intégration par parties ?

« Le premier reste, le deuxième s'intègre… moins l'intégrale du dérivé du premier par l'intégré du second. »

Quelle est la différence entre intégrale et primitive ?

Une primitive est une fonction. Une intégrale définie est un nombre (utilise des bornes).

Comment savoir si l'intégrale est positive ou négative ?

Si $f\ge 0$f ≥ 0 sur $[a;b]$[a ; b] avec $a\le b$a ≤ b : positive. Sinon, étudier le signe.