Exercices corrigés : Équations différentielles — Terminale spécialité

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1. 1

   On calcule $y^{\prime }(x)=3e^{3x}$y'(x)=3e^(3x) (dérivée de $e^u$e^(u) avec $u=3x$u=3x).

2. 2

   Or $3y(x)=3e^{3x}$3y(x)=3e^(3x).

3. 3

   $y^{\prime }=3y$y'=3y : l'égalité est vérifiée, donc $y=e^{3x}$y=e^(3x) est bien solution.

Rappel de cours : Pour vérifier qu'une fonction est solution, on calcule $y^{\prime }$y' et on contrôle que l'équation est satisfaite.

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1. 1

   Les solutions de $y^{\prime }=ay$y'=ay sont les fonctions $y(x)=C{e}^{ax}$y(x)=Ce^(ax), avec $C\in \mathbb{R}$C∈ℝ.

2. 2

   Ici $a=2$a=2, donc $y(x)=C{e}^{2x}$y(x)=Ce^(2x).

Rappel de cours : Théorème : les solutions de $y^{\prime }=ay$y'=ay sont $y=C{e}^{ax}$y=Ce^(ax), où $C$C est une constante réelle quelconque.

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1. 1

   Équation de type $y^{\prime }=ay$y'=ay avec $a=-0,5$a=-0,5.

2. 2

   Solutions : $y(x)=C{e}^{-0,5x}$y(x)=Ce^(-0,5x).

Rappel de cours : Un coefficient $a<0$a<0 donne une exponentielle décroissante (phénomène d'amortissement, désintégration…).

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1. 1

   Solution générale : $y(x)=C{e}^{2x}$y(x)=Ce^(2x).

2. 2

   Condition $y(0)=5$y(0)=5 : $C{e}^0=C=5$Ce⁰=C=5.

3. 3

   Donc $y(x)=5e^{2x}$y(x)=5e^(2x).

Rappel de cours : Une condition initiale $y(x_0)=y_0$y(x₀)=y₀ fixe la constante $C$C : la solution devient unique.

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1. 1

   Solution générale : $y(x)=C{e}^{-3x}$y(x)=Ce^(-3x).

   Condition $y(0)=2$y(0)=2 : $C=2$C=2.

2. 2

   Donc $y(x)=2e^{-3x}$y(x)=2e^(-3x), et $y(1)=2e^{-3}\approx 0,0996$y(1)=2e⁻³≈ 0,0996.

Rappel de cours : Après avoir trouvé la solution, une « valeur en un point » s'obtient en remplaçant $x$x.

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1. 1

   Pour $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b, les solutions sont $y(x)=C{e}^{ax}-\frac{b}{a}$y(x)=Ce^(ax)-b/a.

2. 2

   Ici $a=2$a=2, $b=6$b=6, donc $-\frac{b}{a}=-\frac{6}{2}=-3$-b/a=-6/2=-3.

3. 3

   $y(x)=C{e}^{2x}-3$y(x)=Ce^(2x)-3.

Rappel de cours : Solutions de $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b : $y=C{e}^{ax}-\frac{b}{a}$y=Ce^(ax)-b/a. Le terme constant $-\frac{b}{a}$-b/a est la solution « d'équilibre ».

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1. 1

   Une solution constante $y=k$y=k vérifie $y^{\prime }=0$y'=0, donc $0=2k+6$0=2k+6.

2. 2

   $2k=-6$2k=-6, soit $k=-3$k=-3.

3. 3

   La solution constante est $y=-3$y=-3 (on retrouve $-\frac{b}{a}$-b/a).

Rappel de cours : La solution constante de $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b s'obtient en posant $y^{\prime }=0$y'=0 : $k=-\frac{b}{a}$k=-b/a. C'est la valeur vers laquelle tendent les solutions si $a<0$a<0.

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1. 1

   Solution générale : $y(x)=C{e}^{2x}-3$y(x)=Ce^(2x)-3.

2. 2

   Condition $y(0)=1$y(0)=1 : $C{e}^0-3=1$Ce⁰-3=1, soit $C-3=1$C-3=1, donc $C=4$C=4.

3. 3

   $y(x)=4e^{2x}-3$y(x)=4e^(2x)-3.

Rappel de cours : On applique la condition à la solution générale complète (terme exponentiel $+$+ constante) pour trouver $C$C.

Erreur fréquente : Ne pas oublier le $-3$-3 en appliquant la condition : $y(0)=C-3$y(0)=C-3, pas seulement $C$C.

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1. 1

   « Variation proportionnelle à l'effectif » se traduit par $N^{\prime }(t)=0,04N(t)$N'(t)=0,04 N(t).

2. 2

   C'est une équation $y^{\prime }=ay$y'=ay avec $a=0,04$a=0,04 : solutions $N(t)=C{e}^{0,04t}$N(t)=Ce^(0,04t).

Rappel de cours : « Vitesse proportionnelle à la quantité » $\Rightarrow y^{\prime }=ay$⇒ y'=ay : croissance exponentielle ($a>0$a>0) ou décroissance ($a<0$a<0).

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1. 1

   Solution générale $N(t)=C{e}^{-0,1t}$N(t)=Ce^(-0,1t).

   Condition $N(0)=200$N(0)=200 : $C=200$C=200, donc $N(t)=200e^{-0,1t}$N(t)=200e^(-0,1t).

2. 2

   $N(10)=200e^{-0,1\times 10}=200e^{-1}\approx 200\times 0,368=73,6$N(10)=200e^(-0,1× 10)=200e⁻¹≈ 200× 0,368=73,6 g.

Rappel de cours : La désintégration suit $N^{\prime }=-\lambda N$N'=-λ N, solution $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$N(t)=N₀ e^(-λ t) : décroissance exponentielle.

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1. 1

   Posons $\theta (t)=20+C{e}^{-0,2t}$θ(t)=20+Ce^(-0,2t).

   Alors ${\theta }^{\prime }(t)=-0,2C{e}^{-0,2t}$θ'(t)=-0,2 Ce^(-0,2t).

   Et $-0,2(\theta -20)=-0,2C{e}^{-0,2t}$-0,2(θ-20)=-0,2 Ce^(-0,2t) : égalité vérifiée. ✓

2. 2

   Condition $\theta (0)=80$θ(0)=80 : $20+C=80$20+C=80, donc $C=60$C=60.

   Ainsi $\theta (t)=20+60e^{-0,2t}$θ(t)=20+60e^(-0,2t).

3. 3

   $\theta (5)=20+60e^{-1}\approx 20+60\times 0,368=20+22,1=42,1$θ(5)=20+60e⁻¹≈ 20+60× 0,368=20+22,1=42,1 °C.

Rappel de cours : Loi de Newton : ${\theta }^{\prime }=-k(\theta -{\theta }_{\text{amb}})$θ'=-k(θ-θ_amb). La solution tend vers la température ambiante quand $t\to +\infty$t→+∞.

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1. 1

   On isole $y^{\prime }$y' : $y^{\prime }=-3y+12$y'=-3y+12, donc $a=-3$a=-3, $b=12$b=12.

2. 2

   Solution générale : $y(x)=C{e}^{-3x}-\frac{b}{a}=C{e}^{-3x}-\frac{12}{-3}=C{e}^{-3x}+4$y(x)=Ce^(-3x)-b/a=Ce^(-3x)-12/(-3)=Ce^(-3x)+4.

3. 3

   Condition $y(0)=0$y(0)=0 : $C+4=0$C+4=0, donc $C=-4$C=-4.

   Ainsi $y(x)=-4e^{-3x}+4=4(1-e^{-3x})$y(x)=-4e^(-3x)+4=4(1-e^(-3x)).

Rappel de cours : Mettre sous forme $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b avant d'appliquer la formule. Ici $-\frac{b}{a}=-\frac{12}{-3}=+4$-b/a=-12/(-3)=+4 (attention aux signes).

Erreur fréquente : Le signe de $-\frac{b}{a}$-b/a : avec $a=-3$a=-3 et $b=12$b=12, on obtient $+4$+4, pas $-4$-4.

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1. 1

   Quand $x\to +\infty$x→+∞, $e^{-3x}\to 0$e^(-3x)→ 0 (exponentielle de $-\infty$-∞).

2. 2

   Donc $y(x)\to 4(1-0)=4$y(x)→ 4(1-0)=4.

3. 3

   Interprétation : la fonction se stabilise vers la valeur d'équilibre $4$4 (la solution constante).

Rappel de cours : Pour $a<0$a<0, le terme $C{e}^{ax}\to 0$Ce^(ax)→ 0 et la solution tend vers la valeur d'équilibre $-\frac{b}{a}$-b/a.

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1. 1

   Avec $\tau =2$τ=2, $E=10$E=10 : $q^{\prime }=-0,5q+5$q'=-0,5 q+5, donc $a=-0,5$a=-0,5, $b=5$b=5.

2. 2

   Solution générale : $q(t)=C{e}^{-0,5t}-\frac{b}{a}=C{e}^{-0,5t}-\frac{5}{-0,5}=C{e}^{-0,5t}+10$q(t)=Ce^(-0,5t)-b/a=Ce^(-0,5t)-5/(-0,5)=Ce^(-0,5t)+10.

3. 3

   Condition $q(0)=0$q(0)=0 : $C+10=0$C+10=0, donc $C=-10$C=-10.

   Ainsi $q(t)=10(1-e^{-0,5t})$q(t)=10(1-e^(-0,5t)).

Rappel de cours : Charge d'un condensateur : $q(t)=Q_{\max }(1-e^{-t/\tau })$q(t)=Q_max(1-e^(-t/τ)), croissance vers la charge maximale $Q_{\max }=E$Q_max=E.

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1. 1

   Forme $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b avec $a=-0,5$a=-0,5, $b=100$b=100.

   Solutions : $y=C{e}^{-0,5t}-\frac{b}{a}=C{e}^{-0,5t}+200$y=Ce^(-0,5t)-b/a=Ce^(-0,5t)+200.

2. 2

   $y(0)=C+200=50$y(0)=C+200=50, donc $C=-150$C=-150.

   Ainsi $y(t)=200-150e^{-0,5t}$y(t)=200-150e^(-0,5t).

3. 3

   En $+\infty$+∞, $e^{-0,5t}\to 0$e^(-0,5t)→0, donc $y(t)\to 200$y(t)→200 (valeur d'équilibre).

Rappel de cours : $y^{\prime }=ay+b\Rightarrow y=C{e}^{at}-\frac{b}{a}$y'=ay+b⇒ y=Ce^(at)-b/a ; pour $a<0$a<0, la limite est l'équilibre $-\frac{b}{a}$-b/a.

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1. 1

   $(E):y^{\prime }=-0,5y+10$(E): y'=-0,5y+10 est de la forme $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b avec $a=-0,5$a=-0,5, $b=10$b=10.

   Ses solutions sont $y(t)=C{e}^{-0,5t}-\frac{b}{a}=C{e}^{-0,5t}+20$y(t)=Ce^(-0,5t)-b/a=Ce^(-0,5t)+20, $C\in \mathbb{R}$C∈ℝ (car $-\frac{b}{a}=-\frac{10}{-0,5}=20$-b/a=-10/(-0,5)=20).

2. 2

   $y(0)=C+20=4$y(0)=C+20=4, donc $C=-16$C=-16 et $y(t)=20-16e^{-0,5t}$y(t)=20-16e^(-0,5t).

3. 3

   $y^{\prime }(t)=-16\times (-0,5)e^{-0,5t}=8e^{-0,5t}>0$y'(t)=-16×(-0,5)e^(-0,5t)=8e^(-0,5t)>0 : $y$y est strictement croissante sur $[0;+\infty [$[0;+∞[.

4. 4

   Comme $-0,5<0$-0,5<0, $e^{-0,5t}\to 0$e^(-0,5t)→0 en $+\infty$+∞, donc $y(t)\to 20$y(t)→20.

   La grandeur tend vers la valeur d'équilibre $20$20 (la solution constante de $(E)$(E)).

5. 5

   $y(t)=15⟺20-16e^{-0,5t}=15⟺e^{-0,5t}=\frac{5}{16}⟺-0,5t=\ln \frac{5}{16}⟺t=2\ln \frac{16}{5}\approx 2,33$y(t)=15⇔20-16e^(-0,5t)=15⇔ e^(-0,5t)=5/16⇔-0,5t=ln5/16⇔ t=2ln16/5≈2,33.

Rappel de cours : $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b a pour solutions $y=C{e}^{at}-\frac{b}{a}$y=Ce^(at)-b/a ; la valeur d'équilibre $-\frac{b}{a}$-b/a est la limite quand $a<0$a<0.