Exercices corrigés : Primitives — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   Une primitive de la constante $3$3 est $F(x)=3x$F(x)=3x (car $(3x{)}^{\prime }=3$(3x)'=3).

2. 2

   Une primitive de $x$x est $G(x)=\frac{x^2}{2}$G(x)=x²/2 (car ${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }=x$(x²/2)'=x).

Rappel de cours : Primitiver, c'est l'inverse de dériver. Pour vérifier, on dérive le résultat : on doit retrouver $f$f.

Correction détaillée

1. 1

   Formule : une primitive de $x^n$xⁿ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$xⁿ⁺¹/(n+1).

2. 2

   Pour $x^3$x³ : $F(x)=\frac{x^4}{4}$F(x)=x⁴/4.

   Pour $x^4$x⁴ : $G(x)=\frac{x^5}{5}$G(x)=x⁵/5.

Rappel de cours : Primitive de $x^n$xⁿ : $\frac{x^{n+1}}{n+1}$xⁿ⁺¹/(n+1) (on augmente l'exposant de $1$1 et on divise par le nouvel exposant).

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1. 1

   On primitive terme à terme : $2x^2\to \frac{2x^3}{3}$2x²→ 2x³/3, $-4x\to -2x^2$-4x→ -2x², $5\to 5x$5→ 5x.

2. 2

   Donc $F(x)=\frac{2x^3}{3}-2x^2+5x$F(x)=2x³/3-2x²+5x.

Rappel de cours : On primitive chaque terme séparément. On peut ajouter n'importe quelle constante $C$C.

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1. 1

   $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$1/x²=x⁻².

   Une primitive de $x^{-2}$x⁻² est $\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$x⁻¹/(-1)=-1/x (on vérifie : ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2}$(-1/x)'=1/x²).

2. 2

   Une primitive de $e^x$e^(x) est $e^x$e^(x) lui-même.

Rappel de cours : Primitives utiles : $\frac{1}{x^2}\to -\frac{1}{x}$1/x²→ -1/x, $\frac{1}{x}\to \ln (x)$1/x→ ln(x) (sur $]0;+\infty [$]0;+∞[), $e^x\to e^x$e^(x)→ e^(x).

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1. 1

   Sur $]0;+\infty [$]0;+∞[, une primitive de $\frac{1}{x}$1/x est $\ln (x)$ln(x) (car $(\ln (x){)}^{\prime }=\frac{1}{x}$(ln(x))'=1/x).

2. 2

   Pour $\frac{3}{x}=3\times \frac{1}{x}$3/x=3×1/x, une primitive est $3\ln (x)$3ln(x).

Rappel de cours : Sur $]0;+\infty [$]0;+∞[, $\frac{1}{x}$1/x a pour primitive $\ln (x)$ln(x). Un facteur constant se conserve dans la primitive.

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1. 1

   $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$(sin x)'=cos x, donc une primitive de $\cos x$cos x est $\sin x$sin x.

2. 2

   $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$(cos x)'=-sin x, donc $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$(-cos x)'=sin x : une primitive de $\sin x$sin x est $-\cos x$-cos x.

Rappel de cours : Primitive de $\cos x$cos x : $\sin x$sin x. Primitive de $\sin x$sin x : $-\cos x$-cos x (attention au signe moins).

Erreur fréquente : Le signe moins se trouve sur la primitive de $\sin$sin, pas de $\cos$cos. Vérifier en dérivant lève le doute.

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1. 1

   On reconnaît la forme $u^{\prime }{u}^n$u' uⁿ avec $u=x^2+1$u=x²+1 ($u^{\prime }=2x$u'=2x) et $n=3$n=3.

2. 2

   Une primitive de $u^{\prime }{u}^n$u' uⁿ est $\frac{u^{n+1}}{n+1}$uⁿ⁺¹/(n+1), ici $\frac{(x^2+1{)}^4}{4}$((x²+1)⁴)/4.

3. 3

   Vérification : ${\left(\frac{(x^2+1{)}^4}{4}\right)}^{\prime }=\frac{4(x^2+1{)}^3\times 2x}{4}=2x(x^2+1{)}^3$(((x²+1)⁴)/4)'=(4(x²+1)³× 2x)/4=2x(x²+1)³. ✓

Rappel de cours : Forme $u^{\prime }{u}^n$u' uⁿ (avec $n\ne -1$n≠ -1) : primitive $\frac{u^{n+1}}{n+1}$uⁿ⁺¹/(n+1). Repérer $u$u et vérifier que $u^{\prime }$u' est bien en facteur.

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1. 1

   On reconnaît $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u avec $u=x^2+1>0$u=x²+1>0 et $u^{\prime }=2x$u'=2x.

2. 2

   Une primitive de $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u est $\ln (u)$ln(u) (quand $u>0$u>0), ici $\ln (x^2+1)$ln(x²+1).

Rappel de cours : Forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u : primitive $\ln (u)$ln(u) si $u>0$u>0 (sinon $\ln |u|$ln|u|). Très fréquent au bac.

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1. 1

   $2x{e}^{x^2}$2x e^(x²) est de la forme $u^{\prime }{e}^u$u' e^(u) avec $u=x^2$u=x², $u^{\prime }=2x$u'=2x.

   Primitive : $e^u=e^{x^2}$e^(u)=e^(x²).

2. 2

   $e^{3x}$e^(3x) : on cherche $F$F telle que $F^{\prime }=e^{3x}$F'=e^(3x).

   Avec $F(x)=\frac{1}{3}{e}^{3x}$F(x)=1/3e^(3x), $F^{\prime }(x)=e^{3x}$F'(x)=e^(3x). ✓

Rappel de cours : Forme $u^{\prime }{e}^u$u' e^(u) : primitive $e^u$e^(u). Pour $e^{ax}$e^(ax), primitive $\frac{1}{a}{e}^{ax}$1/ae^(ax).

Correction détaillée

1. 1

   Les primitives de $f$f sont $F(x)=x^2+x+C$F(x)=x²+x+C, avec $C$C constante.

2. 2

   Condition $F(0)=3$F(0)=3 : $0+0+C=3$0+0+C=3, donc $C=3$C=3.

3. 3

   Donc $F(x)=x^2+x+3$F(x)=x²+x+3.

Rappel de cours : Une condition $F(x_0)=y_0$F(x₀)=y₀ fixe la constante $C$C : il y a alors une unique primitive vérifiant cette condition.

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1. 1

   Le numérateur est $x$x, or la dérivée de $x^2+1$x²+1 est $2x$2x.

   On fait apparaître $2x$2x : $\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+1}$x/(x²+1)=1/2·2x/(x²+1).

2. 2

   $\frac{2x}{x^2+1}$2x/(x²+1) est de la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u ($u=x^2+1>0$u=x²+1>0) : primitive $\ln (x^2+1)$ln(x²+1).

3. 3

   Donc une primitive de $f$f est $F(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$F(x)=1/2ln(x²+1).

Rappel de cours : Astuce : quand $u^{\prime }$u' manque un facteur constant, on l'introduit en multipliant/divisant (ici par $2$2) pour retomber sur une forme connue.

Erreur fréquente : Ne pas confondre $\frac{x}{x^2+1}$x/(x²+1) (primitive en $\ln$ln) et $\frac{1}{x^2+1}$1/(x²+1) (qui n'est pas au programme des primitives usuelles).

Correction détaillée

1. 1

   Il suffit de dériver $F$F et de retrouver $f$f.

2. 2

   $F(x)=x{e}^x$F(x)=x e^(x), produit : $F^{\prime }(x)=1\times e^x+x\times e^x=(1+x)e^x=(x+1)e^x$F'(x)=1× e^(x)+x× e^(x)=(1+x)e^(x)=(x+1)e^(x).

3. 3

   $F^{\prime }(x)=f(x)$F'(x)=f(x) : donc $F$F est bien une primitive de $f$f.

Rappel de cours : Pour prouver que $F$F est une primitive de $f$f, on n'intègre pas : on dérive $F$F et on vérifie $F^{\prime }=f$F'=f.

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1. 1

   Primitives de $f$f : $F(x)=x^3-12x+C$F(x)=x³-12x+C.

   Condition $F(0)=5$F(0)=5 : $C=5$C=5, donc $F(x)=x^3-12x+5$F(x)=x³-12x+5.

2. 2

   Pour les variations de $F$F, on étudie $F^{\prime }=f$F'=f : $f(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$f(x)=3x²-12=3(x-2)(x+2), positif à l'extérieur de $[-2;2]$[-2;2], négatif entre.

3. 3

   Donc $F$F croît sur $]-\infty ;-2]$]-∞;-2], décroît sur $[-2;2]$[-2;2], croît sur $[2;+\infty [$[2;+∞[.

Rappel de cours : Les variations de $F$F se lisent sur le signe de $F^{\prime }=f$F'=f : c'est le lien entre primitive et fonction de départ.

Correction détaillée

1. 1

   On sait que $(\sin (2x){)}^{\prime }=2\cos (2x)$(sin(2x))'=2cos(2x).

2. 2

   Donc une primitive de $\cos (2x)$cos(2x) est $F(x)=\frac{1}{2}\sin (2x)$F(x)=1/2sin(2x) (on vérifie : $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\times 2\cos (2x)=\cos (2x)$F'(x)=1/2× 2cos(2x)=cos(2x)).

Rappel de cours : Primitive de $\cos (ax)$cos(ax) : $\frac{1}{a}\sin (ax)$1/asin(ax).

Correction détaillée

1. 1

   On pose $u=x^2+x+1$u=x²+x+1, alors $u^{\prime }=2x+1$u'=2x+1 : $f$f est de la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u.

2. 2

   De plus $u>0$u>0 (discriminant $\Delta =1-4=-3<0$Δ=1-4=-3<0), donc une primitive est $\ln (u)$ln(u).

3. 3

   $F(x)=\ln (x^2+x+1)$F(x)=ln(x²+x+1).

Rappel de cours : Forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u avec $u>0$u>0 : primitive $\ln (u)$ln(u).

Correction détaillée

1. 1

   $x^2-2x+5=(x-1{)}^2+4\ge 4>0$x²-2x+5=(x-1)²+4≥4>0 : le dénominateur ne s'annule jamais.

   Le numérateur $2x-2$2x-2 est la dérivée du dénominateur, donc $f=\frac{u^{\prime }}{u}$f=u'/u avec $u(x)=x^2-2x+5>0$u(x)=x²-2x+5>0.

   Les primitives sont $F(x)=\ln (x^2-2x+5)+C$F(x)=ln(x²-2x+5)+C.

2. 2

   $F(1)=\ln (1-2+5)+C=\ln 4+C$F(1)=ln(1-2+5)+C=ln 4+C.

   On veut $F(1)=0$F(1)=0, donc $C=-\ln 4$C=-ln4 et $F(x)=\ln (x^2-2x+5)-\ln 4=\ln \left(\frac{x^2-2x+5}{4}\right)$F(x)=ln(x²-2x+5)-ln4=ln ((x²-2x+5)/4).

3. 3

   $g(x)=x{e}^{x^2}=\frac{1}{2}(2x)e^{x^2}=\frac{1}{2}{u}^{\prime }{e}^u$g(x)=x e^(x²)=1/2(2x)e^(x²)=1/2 u'e^(u) avec $u=x^2$u=x².

   Une primitive est $G(x)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}$G(x)=1/2 e^(x²).

4. 4

   $h(x)=\sin (x){\cos }^3(x)=-u^{\prime }{u}^3$h(x)=sin(x)cos³(x)=-u'u³ avec $u=\cos x$u=cos x ($u^{\prime }=-\sin x$u'=-sin x).

   Une primitive est $H(x)=-\frac{u^4}{4}=-\frac{{\cos }^4(x)}{4}$H(x)=-u⁴/4=-cos⁴(x)/4.

Rappel de cours : Faire apparaître la dérivée $u^{\prime }$u' (quitte à multiplier par une constante) pour reconnaître $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u, $u^{\prime }{e}^u$u'e^(u) ou $u^{\prime }{u}^n$u'uⁿ.