Exercices corrigés : Primitives et équations différentielles — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   Une primitive de la constante $3$3 est $F(x)=3x$F(x)=3x (car $(3x{)}^{\prime }=3$(3x)'=3).

2. 2

   Une primitive de $x$x est $G(x)=\frac{x^2}{2}$G(x)=x²/2 (car ${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }=x$(x²/2)'=x).

Rappel de cours : Primitiver, c'est l'inverse de dériver. Pour vérifier, on dérive le résultat : on doit retrouver $f$f.

Correction détaillée

1. 1

   Formule : une primitive de $x^n$xⁿ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$xⁿ⁺¹/(n+1).

2. 2

   Pour $x^3$x³ : $F(x)=\frac{x^4}{4}$F(x)=x⁴/4.

   Pour $x^4$x⁴ : $G(x)=\frac{x^5}{5}$G(x)=x⁵/5.

Rappel de cours : Primitive de $x^n$xⁿ : $\frac{x^{n+1}}{n+1}$xⁿ⁺¹/(n+1) (on augmente l'exposant de $1$1 et on divise par le nouvel exposant).

Correction détaillée

1. 1

   On primitive terme à terme : $2x^2\to \frac{2x^3}{3}$2x²→ 2x³/3, $-4x\to -2x^2$-4x→ -2x², $5\to 5x$5→ 5x.

2. 2

   Donc $F(x)=\frac{2x^3}{3}-2x^2+5x$F(x)=2x³/3-2x²+5x.

Rappel de cours : On primitive chaque terme séparément. On peut ajouter n'importe quelle constante $C$C.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{1}{x^3}=x^{-3}$1/x³=x⁻³.

   Une primitive de $x^n$xⁿ ($n\ne -1$n≠ -1) est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$xⁿ⁺¹/(n+1) : $F(x)=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}$F(x)=x⁻²/(-2)=-1/2x².

2. 2

   $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$( √x )'=1/(2 √x ), donc une primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}}$1/( √x ) est $G(x)=2\sqrt{x}$G(x)=2 √x.

3. 3

   Contrôle en dérivant : $F^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}\times (-2)x^{-3}=x^{-3}$F'(x)=-1/2×(-2)x⁻³=x⁻³.

Rappel de cours : On vérifie toujours une primitive en la dérivant.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule $y^{\prime }(x)=3e^{3x}$y'(x)=3e^(3x) (dérivée de $e^u$e^(u) avec $u=3x$u=3x).

2. 2

   Or $3y(x)=3e^{3x}$3y(x)=3e^(3x).

3. 3

   $y^{\prime }=3y$y'=3y : l'égalité est vérifiée, donc $y=e^{3x}$y=e^(3x) est bien solution.

Rappel de cours : Pour vérifier qu'une fonction est solution, on calcule $y^{\prime }$y' et on contrôle que l'équation est satisfaite.

Correction détaillée

1. 1

   Les solutions de $y^{\prime }=ay$y'=ay sont les fonctions $y(x)=C{e}^{ax}$y(x)=Ce^(ax), avec $C\in \mathbb{R}$C∈ℝ.

2. 2

   Ici $a=2$a=2, donc $y(x)=C{e}^{2x}$y(x)=Ce^(2x).

Rappel de cours : Théorème : les solutions de $y^{\prime }=ay$y'=ay sont $y=C{e}^{ax}$y=Ce^(ax), où $C$C est une constante réelle quelconque.

Correction détaillée

1. 1

   Équation de type $y^{\prime }=ay$y'=ay avec $a=-0,5$a=-0,5.

2. 2

   Solutions : $y(x)=C{e}^{-0,5x}$y(x)=Ce^(-0,5x).

Rappel de cours : Un coefficient $a<0$a<0 donne une exponentielle décroissante (phénomène d'amortissement, désintégration…).

Correction détaillée

1. 1

   $y^{\prime }(x)=-2e^{-x}$y'(x)=-2e^(-x).

2. 2

   $-y(x)+3=-2e^{-x}-3+3=-2e^{-x}$-y(x)+3=-2e^(-x)-3+3=-2e^(-x).

3. 3

   Les deux membres sont égaux pour tout $x$x : $y$y est solution.

Rappel de cours : Vérifier une solution : calculer séparément les deux membres et constater qu'ils sont égaux.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$1/x²=x⁻².

   Une primitive de $x^{-2}$x⁻² est $\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}$x⁻¹/(-1)=-1/x (on vérifie : ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2}$(-1/x)'=1/x²).

2. 2

   Une primitive de $e^x$e^(x) est $e^x$e^(x) lui-même.

Rappel de cours : Primitives utiles : $\frac{1}{x^2}\to -\frac{1}{x}$1/x²→ -1/x, $\frac{1}{x}\to \ln (x)$1/x→ ln(x) (sur $]0;+\infty [$]0;+∞[), $e^x\to e^x$e^(x)→ e^(x).

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1. 1

   Sur $]0;+\infty [$]0;+∞[, une primitive de $\frac{1}{x}$1/x est $\ln (x)$ln(x) (car $(\ln (x){)}^{\prime }=\frac{1}{x}$(ln(x))'=1/x).

2. 2

   Pour $\frac{3}{x}=3\times \frac{1}{x}$3/x=3×1/x, une primitive est $3\ln (x)$3ln(x).

Rappel de cours : Sur $]0;+\infty [$]0;+∞[, $\frac{1}{x}$1/x a pour primitive $\ln (x)$ln(x). Un facteur constant se conserve dans la primitive.

Correction détaillée

1. 1

   $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$(sin x)'=cos x, donc une primitive de $\cos x$cos x est $\sin x$sin x.

2. 2

   $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$(cos x)'=-sin x, donc $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$(-cos x)'=sin x : une primitive de $\sin x$sin x est $-\cos x$-cos x.

Rappel de cours : Primitive de $\cos x$cos x : $\sin x$sin x. Primitive de $\sin x$sin x : $-\cos x$-cos x (attention au signe moins).

Erreur fréquente : Le signe moins se trouve sur la primitive de $\sin$sin, pas de $\cos$cos. Vérifier en dérivant lève le doute.

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1. 1

   $f$f est de la forme $\frac{1}{2}{u}^{\prime }{u}^4$1/2u'u⁴ avec $u=2x+1$u=2x+1, $u^{\prime }=2$u'=2.

   Une primitive de $u^{\prime }{u}^4$u'u⁴ est $\frac{u^5}{5}$u⁵/5, donc $F(x)=\frac{1}{2}\times \frac{(2x+1{)}^5}{5}=\frac{(2x+1{)}^5}{10}$F(x)=1/2×((2x+1)⁵)/5=((2x+1)⁵)/10.

2. 2

   $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$(e^(-x))'=-e^(-x), donc une primitive de $e^{-x}$e^(-x) est $G(x)=-e^{-x}$G(x)=-e^(-x).

Rappel de cours : Une primitive de $g(ax+b)$g(ax+b) est $\frac{1}{a}G(ax+b)$1/a G(ax+b), où $G$G est une primitive de $g$g.

Erreur fréquente : Oublier le $\frac{1}{2}$1/2 : la dérivée de $\frac{(2x+1{)}^5}{5}$((2x+1)⁵)/5 est $2(2x+1{)}^4$2(2x+1)⁴, le double de $f$f.

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1. 1

   Solution générale : $y(x)=C{e}^{2x}$y(x)=Ce^(2x).

2. 2

   Condition $y(0)=5$y(0)=5 : $C{e}^0=C=5$Ce⁰=C=5.

3. 3

   Donc $y(x)=5e^{2x}$y(x)=5e^(2x).

Rappel de cours : Une condition initiale $y(x_0)=y_0$y(x₀)=y₀ fixe la constante $C$C : la solution devient unique.

Correction détaillée

1. 1

   Solution générale : $y(x)=C{e}^{-3x}$y(x)=Ce^(-3x).

   Condition $y(0)=2$y(0)=2 : $C=2$C=2.

2. 2

   Donc $y(x)=2e^{-3x}$y(x)=2e^(-3x), et $y(1)=2e^{-3}\approx 0,0996$y(1)=2e⁻³≈ 0,0996.

Rappel de cours : Après avoir trouvé la solution, une « valeur en un point » s'obtient en remplaçant $x$x.

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1. 1

   Pour $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b, les solutions sont $y(x)=C{e}^{ax}-\frac{b}{a}$y(x)=Ce^(ax)-b/a.

2. 2

   Ici $a=2$a=2, $b=6$b=6, donc $-\frac{b}{a}=-\frac{6}{2}=-3$-b/a=-6/2=-3.

3. 3

   $y(x)=C{e}^{2x}-3$y(x)=Ce^(2x)-3.

Rappel de cours : Solutions de $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b : $y=C{e}^{ax}-\frac{b}{a}$y=Ce^(ax)-b/a. Le terme constant $-\frac{b}{a}$-b/a est la solution « d'équilibre ».

Correction détaillée

1. 1

   Solution constante : $0=-2c+4⟺c=2$0=-2c+4⇔ c=2.

2. 2

   Solutions générales : $y(x)=C{e}^{-2x}+2$y(x)=Ce^(-2x)+2, $C\in \mathbb{R}$C∈ℝ.

3. 3

   $y(0)=C+2=0⟺C=-2$y(0)=C+2=0⇔ C=-2.

   Donc $y(x)=2-2e^{-2x}$y(x)=2-2e^(-2x).

Rappel de cours : Les solutions de $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b ($a\ne 0$a≠ 0) sont $C{e}^{ax}-\frac{b}{a}$Ce^(ax)-b/a.

Correction détaillée

1. 1

   On reconnaît la forme $u^{\prime }{u}^n$u' uⁿ avec $u=x^2+1$u=x²+1 ($u^{\prime }=2x$u'=2x) et $n=3$n=3.

2. 2

   Une primitive de $u^{\prime }{u}^n$u' uⁿ est $\frac{u^{n+1}}{n+1}$uⁿ⁺¹/(n+1), ici $\frac{(x^2+1{)}^4}{4}$((x²+1)⁴)/4.

3. 3

   Vérification : ${\left(\frac{(x^2+1{)}^4}{4}\right)}^{\prime }=\frac{4(x^2+1{)}^3\times 2x}{4}=2x(x^2+1{)}^3$(((x²+1)⁴)/4)'=(4(x²+1)³× 2x)/4=2x(x²+1)³. ✓

Rappel de cours : Forme $u^{\prime }{u}^n$u' uⁿ (avec $n\ne -1$n≠ -1) : primitive $\frac{u^{n+1}}{n+1}$uⁿ⁺¹/(n+1). Repérer $u$u et vérifier que $u^{\prime }$u' est bien en facteur.

Correction détaillée

1. 1

   On reconnaît $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u avec $u=x^2+1>0$u=x²+1>0 et $u^{\prime }=2x$u'=2x.

2. 2

   Une primitive de $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u est $\ln (u)$ln(u) (quand $u>0$u>0), ici $\ln (x^2+1)$ln(x²+1).

Rappel de cours : Forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u : primitive $\ln (u)$ln(u) si $u>0$u>0 (sinon $\ln |u|$ln|u|). Très fréquent au bac.

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1. 1

   $2x{e}^{x^2}$2x e^(x²) est de la forme $u^{\prime }{e}^u$u' e^(u) avec $u=x^2$u=x², $u^{\prime }=2x$u'=2x.

   Primitive : $e^u=e^{x^2}$e^(u)=e^(x²).

2. 2

   $e^{3x}$e^(3x) : on cherche $F$F telle que $F^{\prime }=e^{3x}$F'=e^(3x).

   Avec $F(x)=\frac{1}{3}{e}^{3x}$F(x)=1/3e^(3x), $F^{\prime }(x)=e^{3x}$F'(x)=e^(3x). ✓

Rappel de cours : Forme $u^{\prime }{e}^u$u' e^(u) : primitive $e^u$e^(u). Pour $e^{ax}$e^(ax), primitive $\frac{1}{a}{e}^{ax}$1/ae^(ax).

Correction détaillée

1. 1

   Les primitives de $f$f sont $F(x)=x^2+x+C$F(x)=x²+x+C, avec $C$C constante.

2. 2

   Condition $F(0)=3$F(0)=3 : $0+0+C=3$0+0+C=3, donc $C=3$C=3.

3. 3

   Donc $F(x)=x^2+x+3$F(x)=x²+x+3.

Rappel de cours : Une condition $F(x_0)=y_0$F(x₀)=y₀ fixe la constante $C$C : il y a alors une unique primitive vérifiant cette condition.

Correction détaillée

1. 1

   Avec $u=x^2+4$u=x²+4, $u^{\prime }=2x$u'=2x : $f(x)=\frac{1}{2}\times \frac{u^{\prime }}{u^2}$f(x)=1/2timesu'/u².

2. 2

   Une primitive de $\frac{u^{\prime }}{u^2}$u'/u² est $-\frac{1}{u}$-1/u (car ${\left(-\frac{1}{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u^2}$(-1/u)'=u'/u²).

3. 3

   $F(x)=-\frac{1}{2(x^2+4)}$F(x)=-1/(2(x²+4)).

Rappel de cours : Repérer $u^{\prime }$u' dans l'expression, quitte à ajuster par un facteur constant.

Correction détaillée

1. 1

   Une solution constante $y=k$y=k vérifie $y^{\prime }=0$y'=0, donc $0=2k+6$0=2k+6.

2. 2

   $2k=-6$2k=-6, soit $k=-3$k=-3.

3. 3

   La solution constante est $y=-3$y=-3 (on retrouve $-\frac{b}{a}$-b/a).

Rappel de cours : La solution constante de $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b s'obtient en posant $y^{\prime }=0$y'=0 : $k=-\frac{b}{a}$k=-b/a. C'est la valeur vers laquelle tendent les solutions si $a<0$a<0.

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1. 1

   Solution générale : $y(x)=C{e}^{2x}-3$y(x)=Ce^(2x)-3.

2. 2

   Condition $y(0)=1$y(0)=1 : $C{e}^0-3=1$Ce⁰-3=1, soit $C-3=1$C-3=1, donc $C=4$C=4.

3. 3

   $y(x)=4e^{2x}-3$y(x)=4e^(2x)-3.

Rappel de cours : On applique la condition à la solution générale complète (terme exponentiel $+$+ constante) pour trouver $C$C.

Erreur fréquente : Ne pas oublier le $-3$-3 en appliquant la condition : $y(0)=C-3$y(0)=C-3, pas seulement $C$C.

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1. 1

   « Variation proportionnelle à l'effectif » se traduit par $N^{\prime }(t)=0,04N(t)$N'(t)=0,04 N(t).

2. 2

   C'est une équation $y^{\prime }=ay$y'=ay avec $a=0,04$a=0,04 : solutions $N(t)=C{e}^{0,04t}$N(t)=Ce^(0,04t).

Rappel de cours : « Vitesse proportionnelle à la quantité » $\Rightarrow y^{\prime }=ay$⇒ y'=ay : croissance exponentielle ($a>0$a>0) ou décroissance ($a<0$a<0).

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1. 1

   Solution générale $N(t)=C{e}^{-0,1t}$N(t)=Ce^(-0,1t).

   Condition $N(0)=200$N(0)=200 : $C=200$C=200, donc $N(t)=200e^{-0,1t}$N(t)=200e^(-0,1t).

2. 2

   $N(10)=200e^{-0,1\times 10}=200e^{-1}\approx 200\times 0,368=73,6$N(10)=200e^(-0,1× 10)=200e⁻¹≈ 200× 0,368=73,6 g.

Rappel de cours : La désintégration suit $N^{\prime }=-\lambda N$N'=-λ N, solution $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$N(t)=N₀ e^(-λ t) : décroissance exponentielle.

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1. 1

   $P(t)=P_0{e}^{0,03t}$P(t)=P₀e^(0,03t).

2. 2

   $P(t)=2P_0⟺e^{0,03t}=2⟺0,03t=\ln 2⟺t=\frac{\ln 2}{0,03}\approx 23,1$P(t)=2P₀⇔ e^(0,03t)=2⇔ 0,03t=ln 2⇔ t=(ln 2)/0,03≈ 23,1.

3. 3

   Le résultat ne dépend pas de $P_0$P₀ : quelle que soit la population de départ, elle double en environ $23$23 ans.

Rappel de cours : Pour une croissance exponentielle $e^{kt}$e^(kt), le temps de doublement vaut $\frac{\ln 2}{k}$ln2/k.

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1. 1

   Le numérateur est $x$x, or la dérivée de $x^2+1$x²+1 est $2x$2x.

   On fait apparaître $2x$2x : $\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+1}$x/(x²+1)=1/2·2x/(x²+1).

2. 2

   $\frac{2x}{x^2+1}$2x/(x²+1) est de la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u ($u=x^2+1>0$u=x²+1>0) : primitive $\ln (x^2+1)$ln(x²+1).

3. 3

   Donc une primitive de $f$f est $F(x)=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$F(x)=1/2ln(x²+1).

Rappel de cours : Astuce : quand $u^{\prime }$u' manque un facteur constant, on l'introduit en multipliant/divisant (ici par $2$2) pour retomber sur une forme connue.

Erreur fréquente : Ne pas confondre $\frac{x}{x^2+1}$x/(x²+1) (primitive en $\ln$ln) et $\frac{1}{x^2+1}$1/(x²+1) (qui n'est pas au programme des primitives usuelles).

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1. 1

   Il suffit de dériver $F$F et de retrouver $f$f.

2. 2

   $F(x)=x{e}^x$F(x)=x e^(x), produit : $F^{\prime }(x)=1\times e^x+x\times e^x=(1+x)e^x=(x+1)e^x$F'(x)=1× e^(x)+x× e^(x)=(1+x)e^(x)=(x+1)e^(x).

3. 3

   $F^{\prime }(x)=f(x)$F'(x)=f(x) : donc $F$F est bien une primitive de $f$f.

Rappel de cours : Pour prouver que $F$F est une primitive de $f$f, on n'intègre pas : on dérive $F$F et on vérifie $F^{\prime }=f$F'=f.

Correction détaillée

1. 1

   Primitives de $f$f : $F(x)=x^3-12x+C$F(x)=x³-12x+C.

   Condition $F(0)=5$F(0)=5 : $C=5$C=5, donc $F(x)=x^3-12x+5$F(x)=x³-12x+5.

2. 2

   Pour les variations de $F$F, on étudie $F^{\prime }=f$F'=f : $f(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$f(x)=3x²-12=3(x-2)(x+2), positif à l'extérieur de $[-2;2]$[-2;2], négatif entre.

3. 3

   Donc $F$F croît sur $]-\infty ;-2]$]-∞;-2], décroît sur $[-2;2]$[-2;2], croît sur $[2;+\infty [$[2;+∞[.

Rappel de cours : Les variations de $F$F se lisent sur le signe de $F^{\prime }=f$F'=f : c'est le lien entre primitive et fonction de départ.

Correction détaillée

1. 1

   On sait que $(\sin (2x){)}^{\prime }=2\cos (2x)$(sin(2x))'=2cos(2x).

2. 2

   Donc une primitive de $\cos (2x)$cos(2x) est $F(x)=\frac{1}{2}\sin (2x)$F(x)=1/2sin(2x) (on vérifie : $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\times 2\cos (2x)=\cos (2x)$F'(x)=1/2× 2cos(2x)=cos(2x)).

Rappel de cours : Primitive de $\cos (ax)$cos(ax) : $\frac{1}{a}\sin (ax)$1/asin(ax).

Correction détaillée

1. 1

   On pose $u=x^2+x+1$u=x²+x+1, alors $u^{\prime }=2x+1$u'=2x+1 : $f$f est de la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u.

2. 2

   De plus $u>0$u>0 (discriminant $\Delta =1-4=-3<0$Δ=1-4=-3<0), donc une primitive est $\ln (u)$ln(u).

3. 3

   $F(x)=\ln (x^2+x+1)$F(x)=ln(x²+x+1).

Rappel de cours : Forme $\frac{u^{\prime }}{u}$u'/u avec $u>0$u>0 : primitive $\ln (u)$ln(u).

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1. 1

   $x^2-2x+5=(x-1{)}^2+4\ge 4>0$x²-2x+5=(x-1)²+4≥4>0 : le dénominateur ne s'annule jamais.

   Le numérateur $2x-2$2x-2 est la dérivée du dénominateur, donc $f=\frac{u^{\prime }}{u}$f=u'/u avec $u(x)=x^2-2x+5>0$u(x)=x²-2x+5>0.

   Les primitives sont $F(x)=\ln (x^2-2x+5)+C$F(x)=ln(x²-2x+5)+C.

2. 2

   $F(1)=\ln (1-2+5)+C=\ln 4+C$F(1)=ln(1-2+5)+C=ln 4+C.

   On veut $F(1)=0$F(1)=0, donc $C=-\ln 4$C=-ln4 et $F(x)=\ln (x^2-2x+5)-\ln 4=\ln \left(\frac{x^2-2x+5}{4}\right)$F(x)=ln(x²-2x+5)-ln4=ln ((x²-2x+5)/4).

3. 3

   $g(x)=x{e}^{x^2}=\frac{1}{2}(2x)e^{x^2}=\frac{1}{2}{u}^{\prime }{e}^u$g(x)=x e^(x²)=1/2(2x)e^(x²)=1/2 u'e^(u) avec $u=x^2$u=x².

   Une primitive est $G(x)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}$G(x)=1/2 e^(x²).

4. 4

   $h(x)=\sin (x){\cos }^3(x)=-u^{\prime }{u}^3$h(x)=sin(x)cos³(x)=-u'u³ avec $u=\cos x$u=cos x ($u^{\prime }=-\sin x$u'=-sin x).

   Une primitive est $H(x)=-\frac{u^4}{4}=-\frac{{\cos }^4(x)}{4}$H(x)=-u⁴/4=-cos⁴(x)/4.