Comment trouver un vecteur normal ? Méthode et exemples

Q: Y a-t-il un seul vecteur normal ?

Non, tout multiple non nul convient. n\,(2\,;5) et n\,(-2\,;-5) sont tous deux normaux à la même droite.

Les étapes

1
À partir de l'équation
Si la droite est $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0, un vecteur normal est $n (a; b)$ vecteur n (a ;b) : on lit les coefficients de $x$ x et $y$ y.
2
À partir d'un vecteur directeur
Si $u (α; β)$ vecteur u (α ;β) dirige la droite, un vecteur normal est $n (- β; α)$ vecteur n (-β ;α) (on vérifie $u \cdot n = 0$ vecteur u · vecteur n = 0).
3
Vérifier l'orthogonalité
On contrôle que le produit scalaire du vecteur normal avec un vecteur directeur est nul.

Exemple corrigé

Donner un vecteur normal à la droite $d : 3 x + 2 y - 6 = 0$ d : 3x + 2y - 6 = 0, puis un vecteur directeur.

1.On lit les coefficients de $x$ x et $y$ y : un vecteur normal est $n (3; 2)$ vecteur n (3 ;2).
2.Un vecteur directeur est $u (- 2; 3)$ vecteur u (-2 ;3) (coordonnées $(- b; a)$ (-b ;a)).
3.Vérification : $n \cdot u = 3 \times (- 2) + 2 \times 3 = - 6 + 6 = 0$ vecteur n · vecteur u = 3×(-2) + 2× 3 = -6 + 6 = 0 ✓.

Résultat :

n (3; 2)

vecteur n (3 ;2) (normal) et

u (- 2; 3)

vecteur u (-2 ;3) (directeur).

Deuxième exemple

Donner un vecteur normal à la droite dirigée par $u (5; - 2)$ vecteur u (5 ;-2).

1.On applique la rotation d'un quart de tour : $n (- β; α)$ vecteur n (-β ;α) avec $α = 5$ α = 5 et $β = - 2$ β = -2.
2.Cela donne $n (2; 5)$ vecteur n (2 ;5).
3.Vérification : $5 \times 2 + (- 2) \times 5 = 10 - 10 = 0$ 5× 2 + (-2)× 5 = 10 - 10 = 0 ✓.

Résultat :

n (2; 5)

vecteur n (2 ;5).

Piège à éviter

Vecteur normal = coefficients

(a; b)

(a ;b) ; vecteur directeur =

(- b; a)

(-b ;a). Ne pas les confondre.

Questions fréquentes

Y a-t-il un seul vecteur normal ?

Non, tout multiple non nul convient.

n (2; 5)

vecteur n (2 ;5) et

n (- 2; - 5)

vecteur n (-2 ;-5) sont tous deux normaux à la même droite.

Comment ne pas confondre normal et directeur ?

Le normal est perpendiculaire à la droite, le directeur la longe. Sur l'équation

a x + b y + c = 0

ax + by + c = 0, le normal est

(a; b)

(a ;b) et le directeur

(- b; a)

(-b ;a).

Faut-il un repère orthonormé ?

Oui : la notion de perpendicularité passe par le produit scalaire, qui ne se calcule ainsi que dans un repère orthonormé.

Tout sur produit scalaire et géométrie en première

Produit scalaire dans le plan, vecteur normal, équations de droites et de cercles.

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