Comment trouver un vecteur normal ? Méthode et exemples

Q: Y a-t-il un seul vecteur normal ?

Non, tout multiple non nul convient. n\,(2\,;5) et n\,(-2\,;-5) sont tous deux normaux à la même droite.

Les étapes pour trouver un vecteur normal

1
À partir de l'équation
Si la droite est $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0, un vecteur normal est $n (a; b)$ vecteur n (a ;b) : on lit les coefficients de $x$ x et $y$ y.
2
À partir d'un vecteur directeur
Si $u (α; β)$ vecteur u (α ;β) dirige la droite, un vecteur normal est $n (- β; α)$ vecteur n (-β ;α) (on vérifie $u \cdot n = 0$ vecteur u · vecteur n = 0).
3
Vérifier l'orthogonalité
On contrôle que le produit scalaire du vecteur normal avec un vecteur directeur est nul.

Exemple corrigé : trouver un vecteur normal

Donner un vecteur normal à la droite $d : 3 x + 2 y - 6 = 0$ d : 3x + 2y - 6 = 0, puis un vecteur directeur.

1.On lit les coefficients de $x$ x et $y$ y : un vecteur normal est $n (3; 2)$ vecteur n (3 ;2).
2.Un vecteur directeur est $u (- 2; 3)$ vecteur u (-2 ;3) (coordonnées $(- b; a)$ (-b ;a)).
3.Vérification : $n \cdot u = 3 \times (- 2) + 2 \times 3 = - 6 + 6 = 0$ vecteur n · vecteur u = 3×(-2) + 2× 3 = -6 + 6 = 0 ✓.

Résultat :

n (3; 2)

vecteur n (3 ;2) (normal) et

u (- 2; 3)

vecteur u (-2 ;3) (directeur).

Deuxième exemple

Donner un vecteur normal à la droite dirigée par $u (5; - 2)$ vecteur u (5 ;-2).

1.On applique la rotation d'un quart de tour : $n (- β; α)$ vecteur n (-β ;α) avec $α = 5$ α = 5 et $β = - 2$ β = -2.
2.Cela donne $n (2; 5)$ vecteur n (2 ;5).
3.Vérification : $5 \times 2 + (- 2) \times 5 = 10 - 10 = 0$ 5× 2 + (-2)× 5 = 10 - 10 = 0 ✓.

Résultat :

n (2; 5)

vecteur n (2 ;5).

Piège à éviter avec le vecteur normal à une droite

Vecteur normal = coefficients

(a; b)

(a ;b) ; vecteur directeur =

(- b; a)

(-b ;a). Ne pas les confondre.

Questions fréquentes sur le vecteur normal à une droite

Y a-t-il un seul vecteur normal ?

Non, tout multiple non nul convient.

n (2; 5)

vecteur n (2 ;5) et

n (- 2; - 5)

vecteur n (-2 ;-5) sont tous deux normaux à la même droite.

Comment ne pas confondre normal et directeur ?

Le normal est perpendiculaire à la droite, le directeur la longe. Sur l'équation

a x + b y + c = 0

ax + by + c = 0, le normal est

(a; b)

(a ;b) et le directeur

(- b; a)

(-b ;a).

Faut-il un repère orthonormé ?

Oui : la notion de perpendicularité passe par le produit scalaire, qui ne se calcule ainsi que dans un repère orthonormé.

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