Notion

Le vecteur normal à une droite

Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal (perpendiculaire) à cette droite, c'est-à-dire orthogonal à ses vecteurs directeurs. Dans un repère orthonormé, si une droite a pour équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ ax+by+c=0, alors le vecteur de coordonnées $(a; b)$ (a ;b) en est un vecteur normal. Réciproquement, connaître un vecteur normal et un point permet d'écrire l'équation cartésienne de la droite. Le vecteur normal s'appuie sur le produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul. Il sert à déterminer une équation de droite, la tangente à un cercle ou une distance. En terminale, la notion se généralise au plan dans l'espace.

Définitions

Vecteur normal: Un vecteur normal $n$ vecteur n à une droite $d$ d est un vecteur non nul perpendiculaire à $d$ d (orthogonal à tout vecteur directeur de $d$ d).
Équation cartésienne: Une droite a une équation de la forme $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0. Les coefficients $a$ a et $b$ b donnent directement un vecteur normal $n (a; b)$ vecteur n (a ;b).
Vecteur directeur: Un vecteur directeur $u$ vecteur u « suit » la direction de la droite. Il est orthogonal au vecteur normal : $n \cdot u = 0$ vecteur n · vecteur u = 0. Si $n (a; b)$ vecteur n (a ;b), alors $u (- b; a)$ vecteur u (-b ;a) convient.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Vecteur normal et équation de droite →

d : a x + b y + c = 0 \Rightarrow n (a; b) est normal \overset{a}{ˋ} d

d : ax + by + c = 0 ⇒ vecteur n (a ;b) est normal à dLes coefficients de l'équation donnent un vecteur normal.Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal →

a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0

a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0Construire l'équation d'une droite connaissant un point et un vecteur normal.

Méthodes

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Trouver un vecteur normal →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Lire un vecteur normal sur l'équation

Niveau 1 · Application directe

Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite

d : 3 x + 2 y - 6 = 0

d : 3x + 2y - 6 = 0.

Voir la correction

1.
On lit les coefficients de $x$ x et $y$ y : vecteur normal $n (3; 2)$ vecteur n (3 ;2).
→ Vecteur normal et équation de droite
2.
Vecteur directeur $u (- 2; 3)$ vecteur u (-2 ;3) (on vérifie $n \cdot u = - 6 + 6 = 0$ vecteur n · vecteur u = -6 + 6 = 0).

Réponse :

n (3; 2)

vecteur n (3 ;2) et

u (- 2; 3)

vecteur u (-2 ;3).

Méthode utilisée : $a x + b y + c = 0 \Rightarrow$ ax+by+c=0⇒ normal $(a; b)$ (a ;b), directeur $(- b; a)$ (-b ;a).

Erreur fréquente : Confondre vecteur normal et vecteur directeur.

Équation à partir d'un point et d'un vecteur normal

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par

A (1; 2)

A(1 ;2) et de vecteur normal

n (3; 4)

vecteur n (3 ;4).

Voir la correction

1.
On applique $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 avec $n (3; 4)$ vecteur n (3 ;4) et $A (1; 2)$ A(1 ;2) : $3 (x - 1) + 4 (y - 2) = 0$ 3(x - 1) + 4(y - 2) = 0.
→ Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal
2.
On développe : $3 x - 3 + 4 y - 8 = 0$ 3x - 3 + 4y - 8 = 0.
3.
$3 x + 4 y - 11 = 0$ 3x + 4y - 11 = 0 (vérification : $A (1; 2)$ A(1 ;2) donne $3 + 8 - 11 = 0$ 3 + 8 - 11 = 0 ✓).

Réponse :

3 x + 4 y - 11 = 0

3x + 4y - 11 = 0.

Méthode utilisée : $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.

Erreur fréquente : Erreur de signe en développant.

Faire les 10 exercices types sur vecteur normal à une droite8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi un vecteur normal, simplement ?

C'est une flèche perpendiculaire à une droite. Image : un mât de drapeau planté bien droit dans le sol est « normal » au sol. Le vecteur normal joue ce rôle par rapport à la droite.

Comment trouver un vecteur normal à partir de l'équation ?

On lit simplement les coefficients de x et de y. Pour 3x + 2y − 6 = 0, le vecteur normal est (3 ; 2). Le terme tout seul (ici −6) ne compte pas.

Quelle différence entre vecteur normal et vecteur directeur ?

Le vecteur directeur suit la droite (il va dans son sens), le vecteur normal lui est perpendiculaire. Si l'un est (a ; b), l'autre est (−b ; a) : ils sont à angle droit.

À quoi sert le vecteur normal ?

Surtout à trouver rapidement l'équation d'une droite quand on connaît un point et une direction perpendiculaire, et à montrer que deux droites sont perpendiculaires.

Comment écrire l'équation d'une droite avec un vecteur normal ?

Si la droite passe par A(x_A ; y_A) et a pour normal (a ; b), son équation est a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0. On développe ensuite pour obtenir la forme ax + by + c = 0.

Tout sur produit scalaire et géométrie en première

Produit scalaire dans le plan, vecteur normal, équations de droites et de cercles.

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