Produit scalaire dans le plan en Première spé maths

Le produit scalaire dans le plan en Première spé : cours complet

Le produit scalaire est un outil puissant qui combine longueurs et angles. Il permet de calculer un angle, de prouver une orthogonalité, de calculer des projections. Il est essentiel en géométrie, physique, ingénierie.

Définitions équivalentes du produit scalaire

Définition 1 (avec angle)

Pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v formant un angle $\theta$θ :

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert \times \cos (\theta )$$vecteur u · vecteur v = ‖ vecteur u ‖ × ‖ vecteur v ‖ × cos(θ)

Définition 2 (avec coordonnées en repère orthonormé)

Si $\vec{u}(x;y)$vecteur u (x ; y) et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime })$vecteur v (x' ; y') :

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$$vecteur u · vecteur v = x x' + y y'

Définition 3 (avec norme et différence)

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(\Vert \vec{u}{\Vert }^2+\Vert \vec{v}{\Vert }^2-\Vert \vec{u}-\vec{v}{\Vert }^2)$$vecteur u · vecteur v = 1/2 (‖ vecteur u ‖² + ‖ vecteur v ‖² - ‖ vecteur u - vecteur v ‖²)

(C'est la formule d'Al-Kashi réorganisée.)

Définition 4 (avec projection)

Soit $H$H le projeté orthogonal de l'extrémité de $\vec{v}$vecteur v sur la droite portant $\vec{u}$vecteur u :

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\pm \Vert \vec{u}\Vert \times \overline{AH}$$vecteur u · vecteur v = ± ‖ vecteur u ‖ × AH̅

(signe + si même sens, − si opposé)

Propriétés du produit scalaire

Symétrique

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$$vecteur u · vecteur v = vecteur v · vecteur u

Bilinéaire

$$(\vec{u}+\vec{w})\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{w}\cdot \vec{v}$$( vecteur u + vecteur w ) · vecteur v = vecteur u · vecteur v + vecteur w · vecteur v

$$(k\vec{u})\cdot \vec{v}=k(\vec{u}\cdot \vec{v})$$(k vecteur u ) · vecteur v = k ( vecteur u · vecteur v )

Lien avec la norme

$$\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$$vecteur u · vecteur u = ‖ vecteur u ‖²

D'où la norme en repère orthonormé :

$$\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$$‖ vecteur u ‖ = √(x² + y²)

Orthogonalité

Caractérisation

$$\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$$vecteur u ⊥ vecteur v ⇔ vecteur u · vecteur v = 0

Exemple

$\vec{u}(2;3)$vecteur u (2 ; 3) et $\vec{v}(-3;2)$vecteur v (-3 ; 2) : $\vec{u}\cdot \vec{v}=-6+6=0$vecteur u · vecteur v = -6 + 6 = 0 → orthogonaux.

Calcul d'angles

À partir des deux définitions, on a :

$$\cos (\theta )=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert }$$cos(θ) = (vecteur u · vecteur v)/(‖ vecteur u ‖ × ‖ vecteur v ‖)

Exemple

$\vec{u}(3;4)$vecteur u (3 ; 4) et $\vec{v}(1;0)$vecteur v (1 ; 0).

• $\vec{u}\cdot \vec{v}=3$vecteur u · vecteur v = 3.
• $\Vert \vec{u}\Vert =5$‖ vecteur u ‖ = 5, $\Vert \vec{v}\Vert =1$‖ vecteur v ‖ = 1.
• $\cos (\theta )=\frac{3}{5}=0,6$cos(θ) = 3/5 = 0,6.
• $\theta \approx 53°$θ ≈ 53°.

Identités remarquables

$$(\vec{u}+\vec{v}{)}^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$$( vecteur u + vecteur v )² = ‖ vecteur u ‖² + 2 vecteur u · vecteur v + ‖ vecteur v ‖²

$$(\vec{u}-\vec{v}{)}^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$$( vecteur u - vecteur v )² = ‖ vecteur u ‖² - 2 vecteur u · vecteur v + ‖ vecteur v ‖²

$$(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=\Vert \vec{u}{\Vert }^2-\Vert \vec{v}{\Vert }^2$$( vecteur u + vecteur v ) · ( vecteur u - vecteur v ) = ‖ vecteur u ‖² - ‖ vecteur v ‖²

Théorème d'Al-Kashi (généralisation de Pythagore)

Dans un triangle $ABC$ABC :

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos (\hat{A})$$BC² = AB² + AC² - 2 · AB · AC · cos(Â)

Cas particulier

Si $\hat{A}=90°$Â = 90° : $\cos (\hat{A})=0$cos(Â) = 0, on retrouve Pythagore $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC² = AB² + AC².

Applications

Démontrer un parallélogramme particulier

• Rectangle : un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
• Losange : un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
• Carré : un parallélogramme qui est à la fois rectangle et losange (diagonales de même longueur et perpendiculaires).

Démontrer une orthogonalité

$$AB\perp CD⟺\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$$AB ⊥ CD ⇔ vecteur AB · vecteur CD = 0

Équation de cercle

Le cercle de diamètre $[AB]$[AB] est l'ensemble des points $M$M tels que :

$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$$vecteur MA · vecteur MB = 0

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre produit scalaire et produit vectoriel (le second sera vu plus tard).
• Mauvais signe dans le calcul avec coordonnées.
• Confondre $\Vert \vec{u}{\Vert }^2$‖ vecteur u ‖² et ${\vec{u}}^2$vecteur u ² : c'est la même chose.
• Mauvaise lecture du cosinus pour l'angle.

FAQ — Produit scalaire

Pourquoi le produit scalaire est-il utile ?

Il combine longueurs et angles dans un seul objet algébrique. C'est l'outil clé pour les calculs d'angles et la détection d'orthogonalité.

Le produit scalaire est-il toujours positif ?

Non : il est positif si l'angle est aigu, nul si orthogonal, négatif si obtus.

Quelle définition utiliser ?

• En géométrie : la définition avec angle ou Al-Kashi.
• En calcul : la définition avec coordonnées (la plus simple).

À quoi sert Al-Kashi ?

À calculer un côté ou un angle dans n'importe quel triangle (pas seulement rectangle).