Géométrie repérée en Première spé maths

Géométrie repérée en Première spé : cours complet

En Première spé, tu approfondis la géométrie repérée : équations de droites, équations de cercles, calculs de distances, et applications du produit scalaire dans un repère orthonormé.

Rappel : repère orthonormé

Un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$(O ; vecteur i , vecteur j ) comprend :

• une origine $O$O ;
• deux vecteurs $\vec{i}$vecteur i et $\vec{j}$vecteur j orthogonaux et de norme $1$1.

Un point $M$M a des coordonnées $(x;y)$(x ; y) : $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$vecteur OM = x vecteur i + y vecteur j.

Distance entre deux points

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$$AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²)

Milieu d'un segment

$$I=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$I = ( (x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2 )

Équation d'une droite

Équation réduite (droite non verticale)

$$y=mx+p$$y = mx + p

Équation cartésienne

$$ax+by+c=0$$ax + by + c = 0

Vecteur directeur

• Réduite : $\vec{u}(1;m)$vecteur u (1 ; m).
• Cartésienne : $\vec{u}(-b;a)$vecteur u (-b ; a).

Vecteur normal

• À partir de l'équation cartésienne $ax+by+c=0$ax + by + c = 0 : $\vec{n}(a;b)$vecteur n (a ; b).

Lien vecteur directeur / vecteur normal

$$\vec{u}\perp \vec{n}\text{(produit scalaire nul)}$$vecteur u ⊥ vecteur n (produit scalaire nul)

Équation d'un cercle

Centre et rayon

Le cercle de centre $\Omega (\alpha ;\beta )$Ω(α ; β) et de rayon $r$r a pour équation :

$$(x-\alpha {)}^2+(y-\beta {)}^2=r^2$$(x - α)² + (y - β)² = r²

Développement

$$x^2-2\alpha x+{\alpha }^2+y^2-2\beta y+{\beta }^2=r^2$$x² - 2α x + α² + y² - 2β y + β² = r²

$$x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+({\alpha }^2+{\beta }^2-r^2)=0$$x² + y² - 2α x - 2β y + (α² + β² - r²) = 0

Reconnaître un cercle

Une équation de la forme $x^2+y^2+ax+by+c=0$x² + y² + ax + by + c = 0 représente un cercle (éventuellement réduit à un point ou inexistant). On retrouve centre et rayon par regroupement de carrés.

Exemple

$$x^2+y^2-4x+6y+4=0$$x² + y² - 4x + 6y + 4 = 0

Regroupement :

$$(x-2{)}^2-4+(y+3{)}^2-9+4=0$$(x - 2)² - 4 + (y + 3)² - 9 + 4 = 0

$$(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=9$$(x - 2)² + (y + 3)² = 9

Cercle de centre $(2;-3)$(2 ; -3) et rayon $3$3.

Cercle de diamètre $[AB]$[AB]

L'ensemble des points $M$M tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$vecteur MA · vecteur MB = 0 est le cercle de diamètre $[AB]$[AB].

Démonstration

C'est l'application du théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle : un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

Position d'une droite par rapport à un cercle

On résout le système équation de droite + équation de cercle :

• 2 solutions : droite sécante.
• 1 solution : droite tangente.
• 0 solution : droite extérieure au cercle.

Distance d'un point à une droite

Pour la droite $d:ax+by+c=0$d : ax + by + c = 0 et le point $A(x_A;y_A)$A(x_A ; y_A) :

$$d(A,d)=\frac{|a{x}_A+b{y}_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$d(A, d) = (|a x_A + b y_A + c|)/(√(a² + b²))

Exemple

Distance de $A(2;3)$A(2 ; 3) à $d:3x-4y+5=0$d : 3x - 4y + 5 = 0 :

$$d(A,d)=\frac{|3\times 2-4\times 3+5|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-1|}{5}=0,2$$d(A, d) = (|3 × 2 - 4 × 3 + 5|)/(√(9 + 16)) = (|-1|)/5 = 0,2

Tangente à un cercle en un point

La tangente au cercle de centre $\Omega$Ω en un point $A$A est perpendiculaire au rayon $[\Omega A]$[Ω A] en $A$A.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre vecteur directeur et vecteur normal.
• Oublier les conditions du repère orthonormé pour distances et orthogonalité.
• Mauvaise reconnaissance d'une équation de cercle.
• Mauvais signe dans la formule de distance d'un point à une droite (penser à la valeur absolue).

FAQ — Géométrie repérée en Première spé

Comment trouver l'équation d'une droite ?

À partir d'un point et d'un vecteur directeur, ou de deux points, ou d'un point et d'une pente.

Comment savoir si trois points sont alignés ?

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC sont colinéaires : $x_{AB}\times y_{AC}-x_{AC}\times y_{AB}=0$x_AB × y_AC - x_AC × y_AB = 0.

À quoi sert l'équation cartésienne ?

Elle couvre toutes les droites (y compris verticales) et facilite les calculs (vecteur normal, distance).

Comment trouver la tangente à un cercle ?

On trouve d'abord le rayon au point de tangence, puis on cherche la droite perpendiculaire au rayon en ce point.