Trigonométrie en Première spé maths

Trigonométrie en Première spé : cours complet

En Première spé, tu étends la trigonométrie du triangle rectangle au cercle trigonométrique. Tu travailles avec des angles orientés, des radians, et tu manipules les fonctions $\cos$cos et $\sin$sin de tout réel.

Le cercle trigonométrique

Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon $1$1 centré à l'origine du repère.

Mesures d'angles

Deux unités principales :

• Le degré ($°$°) : tour complet = $360°$360°.
• Le radian (rad) : tour complet = $2\pi$2π rad.

Conversion

$$\pi \text{ rad}=180°1\text{ rad}=\frac{180}{\pi }°\approx 57,3°$$π rad = 180° 1 rad = 180/π° ≈ 57,3°

$$\text{degreˊ}=\frac{180}{\pi }\times \text{radian}$$degré = 180/π × radian

Cosinus et sinus d'un réel

Définition

Soit $M$M un point du cercle trigonométrique tel que l'arc $\widehat{IM}$IM̂ (où $I$I est le point $(1;0)$(1 ; 0)) ait pour mesure $x$x radians (orienté).

Les coordonnées de $M$M sont :

$$M=(\cos (x);\sin (x))$$M = (cos(x) ; sin(x))

Valeurs classiques

Propriétés fondamentales

Identité fondamentale

$${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$$cos²(x) + sin²(x) = 1

Encadrement

$$-1\le \cos (x)\le 1-1\le \sin (x)\le 1$$-1 ≤ cos(x) ≤ 1 -1 ≤ sin(x) ≤ 1

Périodicité

$$\cos (x+2\pi )=\cos (x)\sin (x+2\pi )=\sin (x)$$cos(x + 2π) = cos(x) sin(x + 2π) = sin(x)

Les fonctions $\cos$cos et $\sin$sin sont $2\pi$2π-périodiques.

Parité

• $\cos$cos est paire : $\cos (-x)=\cos (x)$cos(-x) = cos(x).
• $\sin$sin est impaire : $\sin (-x)=-\sin (x)$sin(-x) = -sin(x).

Angles associés

Symétries par rapport aux axes

Équations trigonométriques

$\cos (x)=a$cos(x) = a

• Si $|a|>1$|a| > 1 : pas de solution.
• Sinon : $x=\pm \arccos (a)+2k\pi$x = ± arccos(a) + 2kπ, $k\in \mathbb{Z}$k ∈ ℤ.

$\sin (x)=a$sin(x) = a

• Si $|a|>1$|a| > 1 : pas de solution.
• Sinon : $x=\arcsin (a)+2k\pi$x = arcsin(a) + 2kπ ou $x=\pi -\arcsin (a)+2k\pi$x = π - arcsin(a) + 2kπ.

Exemple

Résoudre $\cos (x)=\frac{1}{2}$cos(x) = 1/2 sur $[0;2\pi ]$[0 ; 2π] :

$$x=\frac{\pi }{3}\text{ ou }x=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$$x = π/3 ou x = -π/3 + 2π = 5π/3

Représentation graphique

Courbe de $\cos$cos

• Périodique de période $2\pi$2π.
• Maximum $1$1 en $x=2k\pi$x = 2kπ, minimum $-1$-1 en $x=\pi +2k\pi$x = π + 2kπ.
• Coupe l'axe des $x$x en $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$x = π/2 + kπ.

Courbe de $\sin$sin

• Périodique de période $2\pi$2π.
• Maximum $1$1 en $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$x = π/2 + 2kπ, minimum $-1$-1 en $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$x = -π/2 + 2kπ.
• Coupe l'axe des $x$x en $x=k\pi$x = kπ.

Formules d'addition

$$\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$$cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

$$\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$$sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

$$\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$$cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

$$\sin (a-b)=\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)$$sin(a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b)

Cas particulier : duplication

$$\cos (2a)={\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)=2{\cos }^2(a)-1=1-2{\sin }^2(a)$$cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 = 1 - 2sin²(a)

$$\sin (2a)=2\sin (a)\cos (a)$$sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

Tangente

$$\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}(\cos (x)\ne 0)$$tan(x) = sin(x)/cos(x) (cos(x) ≠ 0)

Erreurs fréquentes à éviter

• Mode calculatrice mal réglé : utiliser RAD quand on travaille en radians.
• Confondre degrés et radians : convertir correctement.
• Oublier les $2k\pi$2kπ dans la résolution d'équations.
• Mauvaise lecture du cercle trigonométrique : visualiser les positions des points.

FAQ — La trigonométrie en Première spé

Pourquoi utiliser des radians plutôt que des degrés ?

Le radian est l'unité naturelle en analyse : les formules sont plus simples, notamment pour la dérivée (${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x)$sin'(x) = cos(x)).

Comment passer de degrés en radians ?

Multiplier par $\frac{\pi }{180}$π/180.

Que signifie $2\pi$2π-périodique ?

Que la fonction recommence identique après $2\pi$2π unités : la courbe se répète.

À quoi servent $\cos$cos et $\sin$sin ?

À modéliser les oscillations (son, lumière, vagues, pendule, signaux électriques), à faire de la géométrie, en animation (mouvement circulaire), etc.