Exercices corrigés : Produit scalaire dans le plan — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   Formule : $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$vecteur u · vecteur v =xx'+yy'.

2. 2

   $=3\times 1+2\times (-4)=3-8=-5$=3× 1+2×(-4)=3-8=-5.

Rappel de cours : Dans un repère orthonormé : $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$vecteur u · vecteur v =xx'+yy' (produit des abscisses + produit des ordonnées).

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1. 1

   $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$‖ vecteur u ‖=√(x²+y²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√(25)=5.

Rappel de cours : Norme : $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$‖ vecteur u ‖=√(x²+y²) (théorème de Pythagore).

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1. 1

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\times (-3)+3\times 2=-6+6=0$vecteur u · vecteur v =2×(-3)+3× 2=-6+6=0.

2. 2

   Le produit scalaire est nul : $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v sont orthogonaux.

Rappel de cours : $\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$vecteur u ⊥ vecteur v ⇔ vecteur u · vecteur v =0.

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1. 1

   $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2=9$vecteur u · vecteur u =‖ vecteur u ‖²=9 (angle nul, $\cos 0=1$cos 0=1).

2. 2

   $\vec{u}\cdot (-\vec{u})=-\vec{u}\cdot \vec{u}=-9$vecteur u ·(- vecteur u )=- vecteur u · vecteur u =-9.

3. 3

   $\vec{u}\cdot (2\vec{u})=2\vec{u}\cdot \vec{u}=18$vecteur u ·(2 vecteur u )=2 vecteur u · vecteur u =18.

Rappel de cours : $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u =‖ vecteur u ‖², et le produit scalaire est bilinéaire : $\vec{u}\cdot (k\vec{v})=k\vec{u}\cdot \vec{v}$vecteur u ·(k vecteur v )=k vecteur u · vecteur v.

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1. 1

   Formule : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$vecteur u · vecteur v =‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ.

2. 2

   $=4\times 3\times \cos 60°=12\times \frac{1}{2}=6$=4× 3×cos 60°=12×1/2=6.

Rappel de cours : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$vecteur u · vecteur v =‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ. $\cos 60°=\frac{1}{2}$cos 60°=1/2.

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1. 1

   Orthogonaux $⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$⇔ vecteur u · vecteur v =0.

2. 2

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\times 3+y\times (-1)=6-y$vecteur u · vecteur v =2× 3+y×(-1)=6-y.

   $6-y=0\Rightarrow y=6$6-y=0 ⇒ y=6.

Rappel de cours : On pose le produit scalaire nul et on résout l'équation.

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}(4-1;3-2)=(3;1)$vecteur AB (4-1 ;3-2)=(3 ;1) et $\overrightarrow{AC}(2-1;6-2)=(1;4)$vecteur AC (2-1 ;6-2)=(1 ;4).

2. 2

   $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\times 1+1\times 4=3+4=7$vecteur AB · vecteur AC =3× 1+1× 4=3+4=7.

Rappel de cours : On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs (arrivée $-$- départ), puis le produit scalaire.

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1. 1

   Le projeté orthogonal de $C$C sur $(AB)$(AB) est $B$B : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=16$vecteur AB · vecteur AC = vecteur AB · vecteur AB =16.

2. 2

   $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$vecteur AB ⊥ vecteur AD : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$vecteur AB · vecteur AD =0.

3. 3

   $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$vecteur CD =- vecteur AB : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=-A{B}^2=-16$vecteur AB · vecteur CD =-AB²=-16.

Rappel de cours : Si $H$H est le projeté orthogonal de $C$C sur $(AB)$(AB), $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$vecteur AB · vecteur AC = vecteur AB · vecteur AH.

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1. 1

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\times 1+0\times \sqrt{3}=1$vecteur u · vecteur v =1× 1+0×sqrt3=1.

   $\Vert \vec{u}\Vert =1$‖ vecteur u ‖=1, $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{1+3}=2$‖ vecteur v ‖=√(1+3)=2.

2. 2

   $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }=\frac{1}{2}$cosθ=( vecteur u · vecteur v )/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖)=1/2, donc $\theta =\frac{\pi }{3}$θ=π/3 ($60^{\circ }$60°).

Rappel de cours : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$vecteur u · vecteur v =‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ relie la formule analytique et la formule géométrique.

Correction détaillée

1. 1

   $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$cosθ=( vecteur u · vecteur v )/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖).

2. 2

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\times 3+2\times 1=5$vecteur u · vecteur v =1× 3+2× 1=5.

   $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{5}$‖ vecteur u ‖= √5, $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{10}$‖ vecteur v ‖=√(10).

3. 3

   $\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ=5/(√5 ×√(10))=5/√(50)=5/(5 √2 )=1/( √2 )=( √2 )/2, soit $\theta =45°$θ=45°.

Rappel de cours : $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$cosθ=( vecteur u · vecteur v )/(‖ vecteur u ‖‖ vecteur v ‖). $\sqrt{5}\times \sqrt{10}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$sqrt5×√(10)=√(50)=5sqrt2.

Correction détaillée

1. 1

   On utilise $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$‖ vecteur u + vecteur v ‖²=‖ vecteur u ‖²+2 vecteur u · vecteur v +‖ vecteur v ‖².

2. 2

   $7^2=5^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+3^2$7²=5²+2 vecteur u · vecteur v +3², soit $49=25+2\vec{u}\cdot \vec{v}+9=34+2\vec{u}\cdot \vec{v}$49=25+2 vecteur u · vecteur v +9=34+2 vecteur u · vecteur v.

3. 3

   $2\vec{u}\cdot \vec{v}=15$2 vecteur u · vecteur v =15, donc $\vec{u}\cdot \vec{v}=7,5$vecteur u · vecteur v =7,5.

Rappel de cours : $\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\Vert \vec{v}{\Vert }^2$‖ vecteur u + vecteur v ‖²=‖ vecteur u ‖²+2 vecteur u · vecteur v +‖ vecteur v ‖² : permet d'obtenir le produit scalaire à partir des normes.

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}(4;2)$vecteur AB (4 ;2) et $\overrightarrow{AC}(1;-2)$vecteur AC (1 ;-2).

2. 2

   $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times 1+2\times (-2)=4-4=0$vecteur AB · vecteur AC =4× 1+2×(-2)=4-4=0.

3. 3

   Le produit scalaire est nul : $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$vecteur AB ⊥ vecteur AC, donc le triangle est rectangle en $A$A.

Rappel de cours : Triangle rectangle en $A$A $⟺\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$⇔ vecteur AB · vecteur AC =0.

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1. 1

   $\overrightarrow{AH}$vecteur AH est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$vecteur AB : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}=\overline{AB}\times \overline{AH}$vecteur AB · vecteur AH =AB̅timesAH̅ (mesures algébriques sur $(AB)$(AB)).

2. 2

   Donc $12=4\times \overline{AH}$12=4timesAH̅, soit $\overline{AH}=3$AH̅=3.

Rappel de cours : Avec le projeté : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overline{AB}\times \overline{AH}$vecteur AB · vecteur AC =AB̅timesAH̅, où $H$H est le projeté orthogonal de $C$C sur $(AB)$(AB).

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1. 1

   Al-Kashi : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\times AC\cos \hat{A}$BC²=AB²+AC²-2 AB× ACcosÂ.

2. 2

   $49=25+64-80\cos \hat{A}$49=25+64-80cosÂ, donc $80\cos \hat{A}=40$80cosÂ=40 et $\cos \hat{A}=\frac{1}{2}$cosÂ=1/2.

3. 3

   $\widehat{BAC}=60^{\circ }$BAĈ=60°.

Rappel de cours : Al-Kashi généralise Pythagore : si $\hat{A}=90^{\circ }$Â=90°, le terme en cosinus disparaît.

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1. 1

   $M(x;y)\in d⟺\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0⟺3(x-2)+4(y+1)=0$M(x ;y)∈ d⇔ vecteur AM · vecteur n =0⇔ 3(x-2)+4(y+1)=0.

2. 2

   En développant : $3x+4y-6+4=0$3x+4y-6+4=0, soit $3x+4y-2=0$3x+4y-2=0.

3. 3

   Vérification : $3\times 2+4\times (-1)-2=0$3× 2+4×(-1)-2=0.

Rappel de cours : Une droite de vecteur normal $\vec{n}(a;b)$vecteur n (a ;b) a une équation de la forme $ax+by+c=0$ax+by+c=0.

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1. 1

   Al-Kashi : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos \widehat{BAC}$BC²=AB²+AC²-2 AB· ACcosBAĈ.

2. 2

   $B{C}^2=25+64-2\times 5\times 8\times \cos 60°=89-80\times \frac{1}{2}=89-40=49$BC²=25+64-2× 5× 8×cos 60°=89-80×1/2=89-40=49.

3. 3

   $BC=\sqrt{49}=7$BC=√(49)=7.

Rappel de cours : Théorème d'Al-Kashi (généralisation de Pythagore) : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat{A}$a²=b²+c²-2bccosÂ.

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1. 1

   $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$vecteur MA · vecteur MB =0 signifie que $M$M voit $[AB]$[AB] sous un angle droit : c'est le cercle de diamètre $[AB]$[AB].

2. 2

   $\overrightarrow{MA}(0-x;0-y)=(-x;-y)$vecteur MA (0-x ;0-y)=(-x ;-y) et $\overrightarrow{MB}(4-x;-y)$vecteur MB (4-x ;-y).

   Produit scalaire : $(-x)(4-x)+(-y)(-y)=x^2-4x+y^2$(-x)(4-x)+(-y)(-y)=x²-4x+y².

3. 3

   $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0⟺x^2-4x+y^2=0⟺(x-2{)}^2+y^2=4$vecteur MA · vecteur MB =0 ⇔ x²-4x+y²=0 ⇔ (x-2)²+y²=4 : cercle de centre $(2;0)$(2 ;0), rayon $2$2.

Rappel de cours : $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$vecteur MA · vecteur MB =0 caractérise le cercle de diamètre $[AB]$[AB] (angle droit inscrit).

Correction détaillée

1. 1

   La hauteur issue de $C$C est perpendiculaire à $(AB)$(AB) : son vecteur directeur est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$vecteur AB.

2. 2

   $\overrightarrow{AB}(5-1;3-1)=(4;2)$vecteur AB (5-1 ;3-1)=(4 ;2).

   Un vecteur orthogonal est $\vec{n}(2;-4)$vecteur n (2 ;-4) (car $(4)(2)+(2)(-4)=8-8=0$(4)(2)+(2)(-4)=8-8=0), ou $(-2;4)$(-2 ;4), ou plus simple $(1;-2)$(1 ;-2).

Rappel de cours : Un vecteur orthogonal à $(a;b)$(a;b) est $(b;-a)$(b;-a) (ou $(-b;a)$(-b;a)) : on échange les coordonnées et on change un signe.

Correction détaillée

1. 1

   On développe comme un produit, en utilisant la bilinéarité et $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$vecteur u · vecteur v = vecteur v · vecteur u.

2. 2

   $(\vec{u}+2\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot \vec{u}-\vec{u}\cdot \vec{v}+2\vec{v}\cdot \vec{u}-2\vec{v}\cdot \vec{v}$( vecteur u +2 vecteur v )·( vecteur u - vecteur v )= vecteur u · vecteur u - vecteur u · vecteur v +2 vecteur v · vecteur u -2 vecteur v · vecteur v.

3. 3

   $=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+(-1+2)\vec{u}\cdot \vec{v}-2\Vert \vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+\vec{u}\cdot \vec{v}-2\Vert \vec{v}{\Vert }^2$=‖ vecteur u ‖²+(-1+2) vecteur u · vecteur v -2‖ vecteur v ‖²=‖ vecteur u ‖²+ vecteur u · vecteur v -2‖ vecteur v ‖².

Rappel de cours : Le produit scalaire se développe comme un produit algébrique : $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u =‖ vecteur u ‖² et $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$vecteur u · vecteur v = vecteur v · vecteur u.

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1. 1

   1) $\vec{n}(3;4)$vecteur n (3 ;4) est normal à $d$d : $(MH)$(MH) est dirigée par $\vec{n}$vecteur n, donc $\overrightarrow{MH}=t\vec{n}$vecteur MH =t vecteur n pour un réel $t$t.

2. 2

   2) $H\in d$H∈ d : $3(4+3t)+4(7+4t)-5=0⟺35+25t=0⟺t=-\frac{7}{5}$3(4+3t)+4(7+4t)-5=0⇔ 35+25t=0⇔ t=-7/5.

3. 3

   $H\left(4-\frac{21}{5};7-\frac{28}{5}\right)=\left(-\frac{1}{5};\frac{7}{5}\right)$H(4-21/5 ;7-28/5)=(-1/5 ;7/5).

4. 4

   3) $MH=|t|\times \Vert \vec{n}\Vert =\frac{7}{5}\times 5=7$MH=|t|×‖ vecteur n ‖=7/5× 5=7.

Rappel de cours : Le projeté orthogonal réalise la plus courte distance d'un point à une droite.