Exercices corrigés : Trigonométrie — Première spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $180°$180° correspond à $\pi$π radians (un demi-tour).

2. 2

   $90°=\frac{180°}{2}$90°=180°/2 correspond à $\frac{\pi }{2}$π/2.

3. 3

   $60°=\frac{180°}{3}$60°=180°/3 correspond à $\frac{\pi }{3}$π/3.

Rappel de cours : Conversion : $180°=\pi$180°=π rad. Règle de proportionnalité : $\text{rad}=\text{deg}\times \frac{\pi }{180}$rad = deg ×π/180.

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1. 1

   $\pi$π rad $=180°$=180°, donc $\frac{\pi }{4}=\frac{180°}{4}=45°$π/4=180°/4=45°.

2. 2

   $\frac{2\pi }{3}=\frac{2\times 180°}{3}=120°$2π/3=(2× 180°)/3=120°.

Rappel de cours : $\text{deg}=\text{rad}\times \frac{180}{\pi }$deg = rad ×180/π.

Correction détaillée

1. 1

   $\cos 0=1$cos 0=1, $\sin 0=0$sin 0=0 (point $(1;0)$(1 ;0) sur le cercle).

2. 2

   $\cos \frac{\pi }{2}=0$cosπ/2=0, $\sin \frac{\pi }{2}=1$sinπ/2=1 (point $(0;1)$(0 ;1)).

Rappel de cours : $\cos$cos = abscisse, $\sin$sin = ordonnée du point du cercle trigonométrique.

Correction détaillée

1. 1

   Longueur d'arc $=$= rayon $\times$× angle en radians : $\ell =5\times \frac{2\pi }{5}=2\pi \approx 6,28$ℓ=5×2π/5=2π≈ 6,28 cm.

2. 2

   Pour $1$1 radian : $\ell =5$ℓ=5 cm, soit exactement le rayon.

Rappel de cours : Un radian est l'angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon : $\ell =r\theta$ℓ=rθ.

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1. 1

   $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$cosπ/3=1/2 et $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$sinπ/3=( √3 )/2.

2. 2

   $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$cosπ/4=( √2 )/2.

3. 3

   $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$cosπ/6=( √3 )/2.

Rappel de cours : Valeurs à connaître par cœur : $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}$π/6,π/4,π/3 donnent $\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}$sqrt3/2,sqrt2/2,1/2 pour le cosinus (décroissant).

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1. 1

   Relation fondamentale : ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$cos²x+sin²x=1, donc ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$sin²x=1-cos²x=1-9/25=16/25.

2. 2

   $\sin x=\pm \frac{4}{5}$sin x=±4/5.

   Comme $x\in [0;\frac{\pi }{2}]$x∈[0;π/2], $\sin x\ge 0$sin x≥ 0, donc $\sin x=\frac{4}{5}$sin x=4/5.

Rappel de cours : ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$cos²x+sin²x=1. Le signe se choisit selon le quadrant (ici $\sin \ge 0$sin≥ 0).

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1. 1

   $\cos$cos est une fonction paire : $\cos (-x)=\cos x$cos(-x)=cos x, donc $\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$cos(-π/6)=( √3 )/2.

2. 2

   $\sin$sin est impaire : $\sin (-x)=-\sin x$sin(-x)=-sin x, donc $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$sin(-π/6)=-1/2.

Rappel de cours : $\cos (-x)=\cos x$cos(-x)=cos x (paire) ; $\sin (-x)=-\sin x$sin(-x)=-sin x (impaire).

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1. 1

   Le maximum de $\cos$cos est $1$1 (atteint en $x=0$x=0 et $x=2\pi$x=2π).

2. 2

   Le minimum est $-1$-1, atteint au creux de la courbe, en $x=\pi \approx 3,14$x=π≈ 3,14.

3. 3

   La valeur en $0$0 se lit $\cos 0=1$cos 0=1.

Rappel de cours : La fonction cosinus oscille entre $-1$-1 et $1$1, de période $2\pi$2π. Maximum en $0$0, minimum en $\pi$π.

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1. 1

   On ajoute ou retranche des multiples de $2\pi$2π (un tour) pour revenir dans $]-\pi ;\pi ]$]-π ;π].

2. 2

   $\frac{7\pi }{3}-2\pi =\frac{7\pi -6\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$7π/3-2π=(7π-6π)/3=π/3.

3. 3

   $-\frac{5\pi }{4}+2\pi =\frac{-5\pi +8\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$-5π/4+2π=(-5π+8π)/4=3π/4.

Rappel de cours : Deux mesures d'un même angle orienté diffèrent d'un multiple de $2\pi$2π.

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1. 1

   $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$5π/6=π-π/6 : symétrique de $\frac{\pi }{6}$π/6 par rapport à l'axe des ordonnées.

   $\cos \frac{5\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$cos5π/6=-cosπ/6=-sqrt3/2 et $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$sin5π/6=sinπ/6=1/2.

2. 2

   $-\frac{2\pi }{3}$-2π/3 est le symétrique de $\frac{2\pi }{3}$2π/3 par rapport à l'axe des abscisses : même cosinus, sinus opposé.

3. 3

   $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$cos2π/3=-1/2, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2π/3=sqrt3/2.

   Donc $\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$cos(-2π/3)=-1/2 et $\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$sin(-2π/3)=-sqrt3/2.

Rappel de cours : $\cos (\pi -x)=-\cos x$cos(π-x)=-cos x, $\sin (\pi -x)=\sin x$sin(π-x)=sin x, $\cos (-x)=\cos x$cos(-x)=cos x, $\sin (-x)=-\sin x$sin(-x)=-sin x.

Correction détaillée

1. 1

   $\cos x=\frac{1}{2}$cos x=1/2 correspond à l'angle de référence $\frac{\pi }{3}$π/3 (car $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$cosπ/3=1/2).

2. 2

   Sur $[0;2\pi [$[0;2π[, le cosinus vaut $\frac{1}{2}$1/2 en $x=\frac{\pi }{3}$x=π/3 et en $x=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$x=2π-π/3=5π/3 (symétrie par rapport à l'axe des abscisses).

Rappel de cours : $\cos x=\cos a$cos x=cos a donne $x=a$x=a ou $x=-a$x=-a (modulo $2\pi$2π). Sur $[0;2\pi [$[0;2π[, la 2ᵉ solution est $2\pi -a$2π-a.

Correction détaillée

1. 1

   $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$sinπ/4=( √2 )/2, donc l'angle de référence est $\frac{\pi }{4}$π/4.

2. 2

   Le sinus vaut $\frac{\sqrt{2}}{2}$sqrt2/2 (positif) dans les deux premiers quadrants : $x=\frac{\pi }{4}$x=π/4 et $x=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$x=π-π/4=3π/4.

Rappel de cours : $\sin x=\sin a$sin x=sin a donne $x=a$x=a ou $x=\pi -a$x=π-a (modulo $2\pi$2π).

Correction détaillée

1. 1

   Formule : $\cos (\pi -x)=-\cos x$cos(π-x)=-cos x.

2. 2

   $\cos \frac{2\pi }{3}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$cos2π/3=cos(π-π/3)=-cosπ/3=-1/2.

Rappel de cours : Angles associés : $\cos (\pi -x)=-\cos x$cos(π-x)=-cos x, $\sin (\pi -x)=\sin x$sin(π-x)=sin x, $\cos (\pi +x)=-\cos x$cos(π+x)=-cos x.

Correction détaillée

1. 1

   $\cos (\pi -x)=-\cos x$cos(π-x)=-cos x (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).

2. 2

   $\cos (\pi +x)=-\cos x$cos(π+x)=-cos x (symétrie par rapport à l'origine).

3. 3

   $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$sin(π/2-x)=cos x (symétrie par rapport à la première bissectrice).

4. 4

   $A=-\cos x-\cos x+\cos x=-\cos x$A=-cos x-cos x+cos x=-cos x.

Rappel de cours : Les formules des angles associés se retrouvent en plaçant $x$x sur le cercle trigonométrique et en cherchant la symétrie.

Correction détaillée

1. 1

   $\sin x=-\frac{1}{2}$sin x=-1/2.

   On connaît $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$sinπ/6=1/2, donc $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$sin(-π/6)=-1/2.

2. 2

   Sur le cercle, deux points ont pour ordonnée $-\frac{1}{2}$-1/2 : $-\frac{\pi }{6}$-π/6 et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, $-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$-π+π/6=-5π/6.

Rappel de cours : $\sin x=\sin a⟺x=a$sin x=sin a⇔ x=a ou $x=\pi -a$x=π-a (à $2\pi$2π près).

Erreur fréquente : Ne pas oublier la seconde solution, symétrique de la première.

Correction détaillée

1. 1

   $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$cosπ/6=( √3 )/2, donc l'angle dont le cosinus vaut $-\frac{\sqrt{3}}{2}$-sqrt3/2 est lié à $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$π-π/6=5π/6 (car $\cos \frac{5\pi }{6}=-\cos \frac{\pi }{6}$cos5π/6=-cosπ/6).

2. 2

   Les solutions sur $[0;2\pi [$[0;2π[ sont $x=\frac{5\pi }{6}$x=5π/6 et son symétrique $x=2\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$x=2π-5π/6=7π/6.

Rappel de cours : Pour $\cos x=-c$cos x=-c, on cherche d'abord l'angle de référence (où $\cos =c$cos=c), puis on utilise $\cos (\pi -a)=-\cos a$cos(π-a)=-cos a.

Erreur fréquente : Un cosinus négatif correspond aux angles du « côté gauche » du cercle (entre $\frac{\pi }{2}$π/2 et $\frac{3\pi }{2}$3π/2).

Correction détaillée

1. 1

   ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$cos²x=1-sin²x=1-144/169=25/169, donc $\cos x=\pm \frac{5}{13}$cos x=±5/13.

2. 2

   Sur $\left]\pi ;\frac{3\pi }{2}\right[$]π;3π/2[ (3ᵉ quadrant), le cosinus est négatif.

3. 3

   Donc $\cos x=-\frac{5}{13}$cos x=-5/13.

Rappel de cours : On calcule ${\cos }^{2}x$cos²x par la relation fondamentale, puis on choisit le signe selon le quadrant de $x$x.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{\pi }{2}$π/2 (quart de tour) : point $(0;1)$(0 ;1), donc $\cos \frac{\pi }{2}=0$cosπ/2=0, $\sin \frac{\pi }{2}=1$sinπ/2=1.

2. 2

   $\pi$π (demi-tour) : point $(-1;0)$(-1 ;0), donc $\cos \pi =-1$cosπ=-1, $\sin \pi =0$sinπ=0.

3. 3

   $\frac{3\pi }{2}$3π/2 (trois quarts de tour) : point $(0;-1)$(0 ;-1), donc $\cos \frac{3\pi }{2}=0$cos3π/2=0, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$sin3π/2=-1.

Rappel de cours : Les coordonnées d'un point du cercle sont $(\cos \theta ;\sin \theta )$(cosθ ;sinθ). Les axes correspondent aux multiples de $\frac{\pi }{2}$π/2.

Correction détaillée

1. 1

   Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : $2\cos x-1=0$2cos x-1=0 ou $\sin x=0$sin x=0.

2. 2

   $2\cos x-1=0⟺\cos x=\frac{1}{2}⟺x=\frac{\pi }{3}$2cos x-1=0 ⇔ cos x=1/2 ⇔ x=π/3 ou $x=\frac{5\pi }{3}$x=5π/3.

3. 3

   $\sin x=0⟺x=0$sin x=0 ⇔ x=0 ou $x=\pi$x=π (sur $[0;2\pi [$[0;2π[).

Rappel de cours : Équation produit en trigonométrie : on annule chaque facteur séparément, puis on réunit les solutions.

Correction détaillée

1. 1

   1) $f(-x)=\cos (-2x)=\cos (2x)=f(x)$f(-x)=cos(-2x)=cos(2x)=f(x) : les points associés à $2x$2x et $-2x$-2x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

   $f(x+\pi )=\cos (2x+2\pi )=\cos (2x)=f(x)$f(x+π)=cos(2x+2π)=cos(2x)=f(x) : ajouter $2\pi$2π, c'est faire un tour complet.

2. 2

   2) $\cos X=0⟺X=\frac{\pi }{2}+k\pi$cos X=0⇔ X=π/2+kπ, $k\in \mathbb{Z}$k∈ℤ.

   Avec $X=2x$X=2x : $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$x=π/4+kπ/2.

3. 3

   Dans $[0;2\pi [$[0 ;2π[ : $k=0,1,2,3$k=0,1,2,3 donnent $\frac{\pi }{4}$π/4, $\frac{3\pi }{4}$3π/4, $\frac{5\pi }{4}$5π/4, $\frac{7\pi }{4}$7π/4.

Rappel de cours : Quand l'angle est $2x$2x, on résout en $X=2x$X=2x puis on divise par $2$2 : les solutions sont deux fois plus nombreuses sur un tour.