Notion

Le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs $u$ vecteur u et $v$ vecteur v est un nombre (un scalaire) qui mesure à la fois leurs longueurs et l'angle qu'ils forment. On le note $u \cdot v$ vecteur u · vecteur v et on peut le calculer de plusieurs façons : avec les normes et l'angle, $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ vecteur u · vecteur v =‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ, ou avec les coordonnées, $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ vecteur u · vecteur v =xx'+yy'. Sa propriété la plus utile : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire sert à calculer des angles, des longueurs, à démontrer des perpendicularités et à établir des équations de droites ou de cercles. Il est central en Première spé et se prolonge dans l'espace en terminale.

Définitions

Produit scalaire: Le produit scalaire de $u$ vecteur u et $v$ vecteur v, noté $u \cdot v$ vecteur u · vecteur v, est un nombre réel (pas un vecteur). Avec les coordonnées $u (x; y)$ vecteur u (x ;y) et $v (x^{'}; y^{'})$ vecteur v (x' ;y'), il vaut $x x^{'} + y y^{'}$ x x' + y y'.
Vecteurs orthogonaux: Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul : $u \cdot v = 0$ vecteur u · vecteur v = 0.
Carré scalaire: Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est le carré de sa norme : $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ vecteur u · vecteur u = ‖ vecteur u ‖².

Formules

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Les formules du produit scalaire →

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos (θ) u \cdot u = ∥ u ∥^{2}

vecteur u · vecteur v = x x' + y y' = ‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cos(θ) vecteur u · vecteur u = ‖ vecteur u ‖²Les expressions à connaître du produit scalaire.Produit scalaire avec les coordonnées →

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}

vecteur u · vecteur v = x x' + y y'La formule de calcul la plus directe, à partir des coordonnées.Produit scalaire avec norme et angle →

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos (θ)

vecteur u · vecteur v = ‖ vecteur u ‖×‖ vecteur v ‖×cos(θ)Relie le produit scalaire à l'angle entre les deux vecteurs.Critère d'orthogonalité →

u \cdot v = 0 ⟺ u ⊥ v

vecteur u · vecteur v = 0 ⇔ vecteur u ⊥ vecteur vLe produit scalaire nul caractérise l'angle droit.

Méthodes

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Calculer un produit scalaire →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Calculer un produit scalaire

Niveau 1 · Application directe

Calculer

u \cdot v

vecteur u · vecteur v pour

u (2; 3)

vecteur u (2 ;3) et

v (4; 1)

vecteur v (4 ;1).

Voir la correction

1.
On applique $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ vecteur u · vecteur v = xx' + yy'.
→ Produit scalaire avec les coordonnées
2.
$u \cdot v = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 8 + 3 = 11$ vecteur u · vecteur v = 2× 4 + 3× 1 = 8 + 3 = 11.

Réponse :

u \cdot v = 11

vecteur u · vecteur v = 11.

Méthode utilisée : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ vecteur u · vecteur v =xx'+yy'.

Tester l'orthogonalité

Niveau 2 · Méthode complète

Les vecteurs

u (2; 3)

vecteur u (2 ;3) et

v (3; - 2)

vecteur v (3 ;-2) sont-ils orthogonaux ?

Voir la correction

1.
On calcule le produit scalaire $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ vecteur u · vecteur v = xx' + yy'.
→ Critère d'orthogonalité
2.
$u \cdot v = 2 \times 3 + 3 \times (- 2) = 6 - 6 = 0$ vecteur u · vecteur v = 2× 3 + 3×(-2) = 6 - 6 = 0.
3.
Le produit scalaire est nul : $u$ vecteur u et $v$ vecteur v sont orthogonaux.

Réponse : Oui, ils sont orthogonaux (produit scalaire nul).

Méthode utilisée : Orthogonaux $\Leftrightarrow u \cdot v = 0$ ⇔ vecteur u · vecteur v =0.

Erreur fréquente : Confondre avec colinéaires (déterminant nul).

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Questions fréquentes

C'est quoi le produit scalaire, simplement ?

C'est un nombre qui mesure à quel point deux vecteurs vont dans la même direction. S'ils pointent dans le même sens, il est grand et positif ; s'ils sont opposés, il est négatif ; s'ils sont perpendiculaires, il vaut exactement 0.

Le produit scalaire, c'est un vecteur ou un nombre ?

C'est un nombre (un « scalaire »), pas un vecteur — d'où son nom. Par exemple le produit scalaire de (2 ; 3) et (4 ; 1) vaut 11.

À quoi sert le produit scalaire ?

Surtout à deux choses : démontrer que deux droites ou vecteurs sont perpendiculaires (produit scalaire nul), et calculer l'angle entre deux vecteurs. Il est aussi utilisé en physique (travail d'une force).

Comment montrer que deux vecteurs sont perpendiculaires ?

On calcule leur produit scalaire xx' + yy'. S'il vaut 0, les vecteurs sont orthogonaux, donc perpendiculaires. Par exemple (2 ; 3) et (3 ; −2) : 6 − 6 = 0, ils sont perpendiculaires.

Comment calculer un angle avec le produit scalaire ?

On utilise cos(θ) = (u·v) / (‖u‖ × ‖v‖) : on divise le produit scalaire par le produit des longueurs, puis on cherche l'angle dont c'est le cosinus.

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