Le vecteur normal à une droite — exercices types corrigés

1. 1.
   On lit les coefficients de $x$x et $y$y : vecteur normal $\vec{n}(3;2)$vecteur n (3 ;2).

   → Vecteur normal et équation de droite
2. 2.
   Vecteur directeur $\vec{u}(-2;3)$vecteur u (-2 ;3) (on vérifie $\vec{n}\cdot \vec{u}=-6+6=0$vecteur n · vecteur u = -6 + 6 = 0).

Méthode utilisée : $ax+by+c=0\Rightarrow$ax+by+c=0⇒ normal $(a;b)$(a ;b), directeur $(-b;a)$(-b ;a).

Erreur fréquente : Confondre vecteur normal et vecteur directeur.

1. 1.
   On applique $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 avec $\vec{n}(3;4)$vecteur n (3 ;4) et $A(1;2)$A(1 ;2) : $3(x-1)+4(y-2)=0$3(x - 1) + 4(y - 2) = 0.

   → Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal
2. 2.
   On développe : $3x-3+4y-8=0$3x - 3 + 4y - 8 = 0.
3. 3.
   $3x+4y-11=0$3x + 4y - 11 = 0 (vérification : $A(1;2)$A(1 ;2) donne $3+8-11=0$3 + 8 - 11 = 0 ✓).

Méthode utilisée : $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.

Erreur fréquente : Erreur de signe en développant.

1. 1.
   Un vecteur normal $\vec{n}(x;y)$vecteur n (x ;y) doit vérifier $\vec{u}\cdot \vec{n}=0$vecteur u · vecteur n = 0.

   → Vecteur normal et équation de droite
2. 2.
   Avec $\vec{n}(5;-2)$vecteur n (5 ;-2) : $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\times 5+5\times (-2)=10-10=0$vecteur u · vecteur n = 2× 5 + 5×(-2) = 10 - 10 = 0.
3. 3.
   Donc $\vec{n}(5;-2)$vecteur n (5 ;-2) est un vecteur normal (on aurait aussi pu prendre $(-5;2)$(-5 ;2)).

Méthode utilisée : Un vecteur normal est orthogonal au directeur : $(b;-a)$(b ;-a).

Erreur fréquente : Reprendre le même vecteur que le directeur.

1. 1.
   La droite cherchée est perpendiculaire à $d$d : un vecteur directeur de $d$d devient un vecteur normal de la nouvelle droite. Vecteur directeur de $d$d : $\vec{u}(-2;3)$vecteur u (-2 ;3).

   → Vecteur normal et équation de droite
2. 2.
   La nouvelle droite a donc pour vecteur normal $\vec{n}(-2;3)$vecteur n (-2 ;3) et passe par $A(0;1)$A(0 ;1) : $-2(x-0)+3(y-1)=0$-2(x - 0) + 3(y - 1) = 0.

   → Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal
3. 3.
   On développe : $-2x+3y-3=0$-2x + 3y - 3 = 0.

Méthode utilisée : La perpendiculaire à $d$d a pour vecteur directeur le vecteur normal de $d$d.

Erreur fréquente : Garder le coefficient directeur de $d$d au lieu de la pente perpendiculaire.

1. 1.
   Pour $ax+by+c=0$ax+by+c=0, $\vec{n}(a;b)$vecteur n (a ;b).

   → Vecteur normal et équation de droite
2. 2.
   $\vec{n}(3;2)$vecteur n (3 ;2).

Méthode utilisée : Les coefficients de $x$x et $y$y donnent le vecteur normal.

Erreur fréquente : Prendre $(b;a)$(b ;a) ou inclure le $-1$-1.

1. 1.
   Un vecteur directeur est orthogonal au normal : $(4;1)$(4 ;1) car $1\times 4+(-4)\times 1=0$1× 4+(-4)× 1=0.

Méthode utilisée : $\vec{n}(a;b)\Rightarrow \vec{u}(-b;a)$vecteur n (a ;b)⇒ vecteur u (-b ;a).

Erreur fréquente : Donner le même vecteur que le normal.

1. 1.
   $2(x-1)+3(y-1)=0$2(x-1)+3(y-1)=0.

   → Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal
2. 2.
   $2x+3y-5=0$2x+3y-5=0.

Méthode utilisée : $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$a(x-x_A)+b(y-y_A)=0 avec $\vec{n}(a;b)$vecteur n (a ;b).

Erreur fréquente : Oublier de développer ou se tromper de signe.

1. 1.
   $\overrightarrow{AB}(2;4)$vecteur AB (2 ;4).
2. 2.
   $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=2\times 2+4\times (-1)=0$vecteur AB · vecteur n =2× 2+4×(-1)=0 : ils sont orthogonaux.

Méthode utilisée : Vecteur normal $\iff$⇔ produit scalaire nul avec un vecteur directeur.

Erreur fréquente : Confondre vecteur normal et vecteur directeur.

1. 1.
   $\vec{n}(1;-5)$vecteur n (1 ;-5).

   → Vecteur normal et équation de droite

Méthode utilisée : Coefficients de $x$x et $y$y.

Erreur fréquente : Inclure le terme constant.

1. 1.
   $4(x-0)-1(y-3)=0$4(x-0)-1(y-3)=0.

   → Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal
2. 2.
   $4x-y+3=0$4x-y+3=0.

Méthode utilisée : $a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.

Erreur fréquente : Erreur de signe en développant.