Le produit scalaire — exercices types corrigés

1. 1.
   On applique $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$vecteur u · vecteur v = xx' + yy'.

   → Produit scalaire avec les coordonnées
2. 2.
   $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\times 4+3\times 1=8+3=11$vecteur u · vecteur v = 2× 4 + 3× 1 = 8 + 3 = 11.

Méthode utilisée : $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$vecteur u · vecteur v =xx'+yy'.

1. 1.
   On calcule le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$vecteur u · vecteur v = xx' + yy'.

   → Critère d'orthogonalité
2. 2.
   $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\times 3+3\times (-2)=6-6=0$vecteur u · vecteur v = 2× 3 + 3×(-2) = 6 - 6 = 0.
3. 3.
   Le produit scalaire est nul : $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v sont orthogonaux.

Méthode utilisée : Orthogonaux $\iff \vec{u}\cdot \vec{v}=0$⇔ vecteur u · vecteur v =0.

Erreur fréquente : Confondre avec colinéaires (déterminant nul).

1. 1.
   Produit scalaire : $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\times 1+0\times 1=1$vecteur u · vecteur v = 1× 1 + 0× 1 = 1. Normes : $\Vert \vec{u}\Vert =1$‖ vecteur u ‖ = 1 et $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{2}$‖ vecteur v ‖ = √(2).

   → Produit scalaire avec norme et angle
2. 2.
   $\cos (\theta )=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }=\frac{1}{1\times \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$cos(θ) = (vecteur u · vecteur v)/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖) = 1/1×√(2) = 1/√(2).
3. 3.
   $\cos (\theta )=\frac{\sqrt{2}}{2}$cos(θ) = √(2)/2, donc $\theta =45°$θ = 45°.

Méthode utilisée : $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$cosθ=(vecteur u · vecteur v)/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖).

1. 1.
   $\vec{u}\cdot \vec{u}=3\times 3+4\times 4=9+16=25$vecteur u · vecteur u = 3× 3 + 4× 4 = 9 + 16 = 25.

   → Produit scalaire avec les coordonnées
2. 2.
   Or $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u = ‖ vecteur u ‖², donc $\Vert \vec{u}{\Vert }^2=25$‖ vecteur u ‖² = 25.
3. 3.
   $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{25}=5$‖ vecteur u ‖ = √(25) = 5.

Méthode utilisée : $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u =‖ vecteur u ‖².

Erreur fréquente : Oublier la racine pour obtenir $\Vert \vec{u}\Vert$‖ vecteur u ‖.

1. 1.
   $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }=1\times 3+2\times 4$vecteur u · vecteur v = xx' + yy' = 1× 3 + 2× 4.

   → Produit scalaire avec les coordonnées
2. 2.
   $=3+8=11$= 3 + 8 = 11.

1. 1.
   $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\times 6+(-3)\times 4=12-12=0$vecteur u · vecteur v = 2× 6 + (-3)× 4 = 12 - 12 = 0.

   → Critère d'orthogonalité
2. 2.
   Le produit scalaire est nul : ils sont orthogonaux.

1. 1.
   $\vec{u}\cdot \vec{u}=5^2+12^2=25+144=169=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = ‖ vecteur u ‖².

   → Produit scalaire avec les coordonnées
2. 2.
   $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{169}=13$‖ vecteur u ‖ = √(169) = 13.

1. 1.
   $\vec{u}\cdot \vec{v}=3\times (-1)+1\times 3=-3+3=0$vecteur u · vecteur v = 3×(-1) + 1× 3 = -3 + 3 = 0.

   → Critère d'orthogonalité
2. 2.
   Produit nul : orthogonaux.

1. 1.
   $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\times (-1)+1\times 5=-2+5$vecteur u · vecteur v = 2×(-1) + 1× 5 = -2 + 5.

   → Produit scalaire avec les coordonnées
2. 2.
   $=3$= 3.

1. 1.
   $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\times 0+0\times 1=0$vecteur u · vecteur v = 1× 0 + 0× 1 = 0.

   → Produit scalaire avec norme et angle
2. 2.
   Un produit scalaire nul signifie un angle de $90°$90°.