Dérivation, convexité et optimisation en Terminale STMG

Dérivation, convexité et optimisation en Terminale STMG : cours complet

La dérivation permet d'étudier les variations d'une fonction. La convexité complète l'analyse. L'optimisation est l'application directe en gestion (maximiser un profit, minimiser un coût).

Rappels sur la dérivation

Dérivées usuelles

Opérations

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$(uv)' = u'v + uv'

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$(u/v)' = (u'v - uv')/v²

$$(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$$(e^(u))' = u' e^(u)

$$(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$$(ln u)' = u'/u

Variations et signe de la dérivée

Convexité

Définitions

• $f$f convexe : courbe au-dessus de toutes ses tangentes.
• $f$f concave : courbe en-dessous.

Caractérisation par $f^{\prime \prime }$f''

Point d'inflexion

Point où $f^{\prime \prime }$f'' s'annule en changeant de signe (passage convexe ↔ concave).

Exemples

• $f(x)=x^2$f(x) = x² : convexe sur $\mathbb{R}$ℝ.
• $f(x)=\ln x$f(x) = ln x : concave sur $]0;+\infty [$]0 ; +∞[.
• $f(x)=x^3$f(x) = x³ : concave puis convexe (point d'inflexion en $0$0).

Optimisation

Méthode

1. Identifier la grandeur à optimiser.
2. Écrire l'expression de la fonction.
3. Calculer la dérivée.
4. Résoudre $f^{\prime }(x)=0$f'(x) = 0.
5. Vérifier qu'il s'agit bien d'un extremum (signe de $f^{\prime }$f' ou de $f^{\prime \prime }$f'').
6. Calculer la valeur de l'extremum.

Exemple 1 — Profit maximal

Une entreprise produit $q$q unités. Profit :

$$\pi (q)=-2q^2+200q-500$$π(q) = -2 q² + 200 q - 500

${\pi }^{\prime }(q)=-4q+200$π'(q) = -4 q + 200, ${\pi }^{\prime }(q)=0⟺q=50$π'(q) = 0 ⇔ q = 50.

${\pi }^{\prime \prime }(q)=-4<0$π''(q) = -4 < 0 : concave, donc maximum.

$$\pi (50)=-5000+10000-500=4500\text{€}$$π(50) = -5000 + 10 000 - 500 = 4500 €

Exemple 2 — Coût minimal

Coût total :

$$C(q)=0,5q^2+200+\frac{800}{q}$$C(q) = 0,5 q² + 200 + 800/q

$C^{\prime }(q)=q-\frac{800}{q^2}$C'(q) = q - 800/q², $C^{\prime }(q)=0⟺q^3=800⟺q\approx 9,28$C'(q) = 0 ⇔ q³ = 800 ⇔ q ≈ 9,28.

Applications

Production optimale

Quantité qui maximise le profit.

Tarification optimale

Prix qui maximise le chiffre d'affaires ou le profit.

Gestion de stocks

Minimisation du coût total (commande + stockage).

Élasticité

Étude de la sensibilité de la demande au prix.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre maximum et minimum : vérifier le signe de $f^{\prime \prime }$f'' ou le changement de signe de $f^{\prime }$f'.
• Mauvaise dérivée : être précis.
• Oublier de vérifier qu'on a bien un extremum : $f^{\prime }(x_0)=0$f'(x₀) = 0 ne suffit pas.
• Confondre $f$f et $f^{\prime }$f' dans le tableau.

FAQ — Dérivation, convexité et optimisation en STMG

À quoi sert la convexité en STMG ?

À distinguer maximum et minimum, à étudier des courbes économiques (offre, demande, coût).

Comment trouver le profit maximal ?

On dérive la fonction profit, on résout ${\pi }^{\prime }(q)=0$π'(q) = 0, on vérifie que c'est un maximum, on calcule $\pi$π en ce point.

À quoi sert l'optimisation en gestion ?

À prendre des décisions optimales : quantité, prix, stocks, ressources… Très utilisé en finance, marketing, production.

Pourquoi étudier $f^{\prime \prime }$f'' ?

Pour la convexité et distinguer max / min : si $f^{\prime \prime }(x_0)<0$f''(x₀) < 0, $f$f est concave en $x_0$x₀ et c'est un max ; sinon, un min.