Fonctions du second degré et inverse en Première STMG

Fonctions du second degré et inverse en Première STMG : cours complet

Tu étudies en Première STMG deux types de fonctions de référence : les fonctions du second degré ($a{x}^2+bx+c$ax² + bx + c) et la fonction inverse ($\frac{1}{x}$1/x). Ces fonctions modélisent de nombreux phénomènes économiques.

Fonction du second degré

Définition

$$f(x)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Représentation graphique : parabole

• $a>0$a > 0 : tournée vers le haut.
• $a<0$a < 0 : tournée vers le bas.

Sommet de la parabole

$$S\left(-\frac{b}{2a};f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$S(-b/2a ; f(-b/2a))

Axe de symétrie

$$x=-\frac{b}{2a}$$x = -b/2a

Variations

| $a>0$a > 0 | décroit puis croît, minimum au sommet | | $a<0$a < 0 | croît puis décroît, maximum au sommet |

Forme canonique

$$f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$$f(x) = a(x - α)² + β

où $\alpha =-\frac{b}{2a}$α = -b/2a et $\beta =f(\alpha )$β = f(α).

Exemple

$f(x)=2x^2-8x+5$f(x) = 2x² - 8x + 5 :

$$f(x)=2[(x-2{)}^2-4]+5=2(x-2{)}^2-3$$f(x) = 2[(x - 2)² - 4] + 5 = 2(x - 2)² - 3

Sommet $S(2;-3)$S(2 ; -3).

Résolution de $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0 (cas simples)

• $b=0$b = 0 : $a{x}^2+c=0⟹x^2=-\frac{c}{a}$ax² + c = 0 ⇒ x² = -c/a.
• $c=0$c = 0 : $a{x}^2+bx=0⟹x(ax+b)=0$ax² + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0, donc $x=0$x = 0 ou $x=-\frac{b}{a}$x = -b/a.
• Forme générale : on utilise un logiciel ou la formule du discriminant (vue en spé).

Applications économiques

Profit maximal

Le profit $\pi (q)$π(q) d'une entreprise en fonction de la quantité $q$q produite peut être une fonction quadratique. Le maximum est atteint au sommet de la parabole.

Exemple

$$\pi (q)=-2q^2+100q-200$$π(q) = -2 q² + 100 q - 200

Maximum en $q=25$q = 25, profit max $=1050$= 1050.

Revenue marginale et coût

Souvent modélisés par des fonctions quadratiques.

Fonction inverse

Définition

$$f(x)=\frac{1}{x},x\ne 0$$f(x) = 1/x, x ≠ 0

Représentation graphique

Hyperbole avec deux branches : une dans le quadrant $(x>0,y>0)$(x > 0, y > 0), l'autre dans $(x<0,y<0)$(x < 0, y < 0).

Variations

$$f\text{ deˊcroissante sur }]-\infty ;0[\text{ et sur }]0;+\infty [$$f décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[

(Pas globalement décroissante.)

Limites

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty ;\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$$lim_x → 0⁺ 1/x = +∞ ; lim_x → 0⁻ 1/x = -∞

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$$lim_x → ± ∞ 1/x = 0

Asymptotes

• Verticale : $x=0$x = 0.
• Horizontale : $y=0$y = 0.

Fonction $f(x)=\frac{k}{x}$f(x) = k/x

Cette fonction modélise la proportionnalité inverse (si $x$x double, $y$y est divisé par $2$2).

Applications

• Vitesse moyenne : $v=\frac{d}{t}$v = d/t (pour distance fixée, $v$v inversement proportionnelle à $t$t).
• Prix unitaire selon la quantité fixée et la dépense totale.

Tableau de signes

Pour $a{x}^2+bx+c$ax² + bx + c (avec racines $x_1,x_2$x₁, x₂)

Pour $\frac{1}{x}$1/x

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier qu'une parabole a un extremum (min ou max selon $a$a).
• Croire que $\frac{1}{x}$1/x est décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ℝ^(*) : non, seulement sur chaque branche.
• Diviser par $0$0 : interdit.
• Mauvais signe dans la forme canonique.

FAQ — Fonctions du second degré et inverse en STMG

Comment trouver le maximum d'un profit ?

Si le profit est une fonction quadratique $\pi (q)=-a{q}^2+bq+c$π(q) = -aq² + bq + c ($a>0$a > 0), le maximum est au sommet, en $q=\frac{b}{2a}$q = b/2a.

À quoi sert la fonction inverse ?

À modéliser des situations de proportionnalité inverse : prix unitaire vs quantité, durée vs vitesse.

Pourquoi la parabole a-t-elle un axe de symétrie ?

Parce que pour $x_1$x₁ et $x_2$x₂ symétriques par rapport à $\alpha$α, $f(x_1)=f(x_2)$f(x₁) = f(x₂).

Quelle est l'asymptote horizontale de $\frac{1}{x}$1/x ?

L'axe des $x$x : $y=0$y = 0.