Fonction exponentielle — Maths Terminale STMG (cours + PDF)

Q: À quoi sert l'exponentielle en gestion ?

À modéliser les intérêts composés, la croissance d'une entreprise, la dépréciation d'un bien.

Q: Pourquoi (e^(x))' = e^(x) ?

C'est une propriété fondamentale : l'exponentielle est sa propre dérivée. C'est ce qui la rend si utile en analyse.

Q: Comment résoudre une équation exponentielle ?

En utilisant le logarithme ln pour isoler la variable.

Q: Quelle différence entre intérêts composés discrets et continus ?

Discrets : C(1 + t)ⁿ. Continus : C e^(rn). Pour r et t petits, c'est presque la même chose.

La fonction exponentielle $exp$ exp, notée $e^{x}$ e ^(x), est le modèle de référence des évolutions à taux constant en temps continu : croissance d'un capital, d'une population, ou décroissance d'une valeur. C'est un outil incontournable de modélisation en Terminale STMG.

Au programme : la fonction $x \mapsto e^{x}$ x↦ e ^(x), strictement positive et strictement croissante sur $R$ ℝ ; les propriétés $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ e ^(a+b)= e ^(a) e ^(b) et $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ e ^(-a)=1/(e ^(a)) ; sa dérivée ( $e^{x}$ e ^(x) est sa propre dérivée) et celle de $e^{k x}$ e ^(kx), égale à $k e^{k x}$ k e ^(kx). On étudie ainsi les fonctions du type $t \mapsto A e^{k t}$ t↦ A e ^(kt).

Applications : modèles de croissance ( $k > 0$ k>0) et de décroissance ( $k < 0$ k<0), souvent reliés à un taux d'évolution. Pièges classiques : oublier que $e^{x} > 0$ e ^(x)>0 pour tout $x$ x, et se tromper de signe de $k$ k entre croissance et décroissance.

Leçon complète

La fonction exponentielle en Terminale STMG : cours complet

La fonction exponentielle modélise les croissances rapides : populations, capitaux à intérêts composés, demande en marketing. Indispensable en gestion et en économie.

Définition

$exp (x) = e^{x}; e \approx 2, 718 exp(x) = e^(x) ; e \approx 2,718$

Propriétés algébriques

$e^{a + b} = e^{a} \times e^{b} e^(a + b) = e^(a) \times e^(b)$

$e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}} e^(a - b) = e^(a)/e^(b)$

$(e^{a})^{n} = e^{na} (e^(a))ⁿ = e^(na)$

$e^{0} = 1; e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} e⁰ = 1 ; e^(-a) = 1/e^(a)$

Dérivée

$(e^{x})^{'} = e^{x} (e^(x))' = e^(x)$

$(e^{a x + b})^{'} = a \times e^{a x + b} (e^(ax + b))' = a \times e^(ax + b)$

$(e^{u})^{'} = u^{'} \times e^{u} (e^(u))' = u' \times e^(u)$

Exemples

$(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x} (e^(3x))' = 3 e^(3x)$

$(e^{- 2 x + 1})^{'} = - 2 e^{- 2 x + 1} (e^(-2x + 1))' = -2 e^(-2x + 1)$

Variations

$exp$ exp est strictement croissante sur $R$ ℝ.
$e^{x} > 0$ e^(x) > 0 pour tout $x$ x.

Limites

$x \to - \infty lim e^{x} = 0; x \to + \infty lim e^{x} = + \infty lim_x \to -\infty e^(x) = 0 ; lim_x \to +\infty e^(x) = +\infty$

Représentation graphique

Passe par $(0; 1)$ (0 ; 1) et $(1; e)$ (1 ; e).
Asymptote horizontale $y = 0$ y = 0 en $- \infty$ -∞.
Croissance rapide.

Équations exponentielles

$e^{x} = a$ e^(x) = a

Si $a \leq 0$ a ≤ 0 : pas de solution.
Si $a > 0$ a > 0 : $x = ln (a)$ x = ln(a).

$e^{u} = e^{v}$ e^(u) = e^(v)

$e^{u} = e^{v} ⟺ u = v e^(u) = e^(v) \Leftrightarrow u = v$

Exemple

Résoudre $e^{2 x} = 5$ e^(2x) = 5 :

$2 x = ln 5 ⟺ x = \frac{ln 5}{2} \approx 0, 80 2x = ln 5 \Leftrightarrow x = (ln 5)/2 \approx 0,80$

Modélisation économique

Croissance exponentielle

Un capital à intérêts composés :

$C (t) = C_{0} \times e^{r t} (r : taux continu) C(t) = C₀ \times e^(rt) (r : taux continu )$

Démographie

Population qui croît à taux $r$ r par an :

$N (t) = N_{0} \times e^{r t} N(t) = N₀ \times e^(rt)$

Décroissance exponentielle

Désintégration, dépréciation :

$V (t) = V_{0} \times e^{- k t} V(t) = V₀ \times e^(-kt)$

Demi-vie / Doublement

Doublement

Combien de temps pour que la population double ?

$2 = e^{r T} ⟺ T = \frac{ln 2}{r} 2 = e^(rT) \Leftrightarrow T = (ln 2)/r$

Demi-vie

Temps pour réduire à la moitié :

$\frac{1}{2} = e^{- k T} ⟺ T = \frac{ln 2}{k} 1/2 = e^(-kT) \Leftrightarrow T = (ln 2)/k$

Comparaison exp / linéaire

Sur le long terme, l'exponentielle dépasse toujours toute fonction linéaire.

Erreurs fréquentes à éviter

$e^{a} + e^{b} \neq = e^{a + b}$ e^(a) + e^(b) ≠ e^(a+b) : c'est $e^{a} \times e^{b}$ e^(a) × e^(b).
Mauvaise dérivée : $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ (e^(u))' = u' e^(u).
Oublier que $e^{x} > 0$ e^(x) > 0 toujours.
Confondre $e$ e et $π$ π : $e \approx 2, 718$ e ≈ 2,718, $π \approx 3, 14$ π ≈ 3,14.

FAQ — La fonction exponentielle en STMG

À quoi sert l'exponentielle en gestion ?

À modéliser les intérêts composés, la croissance d'une entreprise, la dépréciation d'un bien.

Pourquoi $(e^{x})^{'} = e^{x}$ (e^(x))' = e^(x) ?

C'est une propriété fondamentale : l'exponentielle est sa propre dérivée. C'est ce qui la rend si utile en analyse.

Comment résoudre une équation exponentielle ?

En utilisant le logarithme $ln$ ln pour isoler la variable.

Quelle différence entre intérêts composés discrets et continus ?

Discrets : $C (1 + t)^{n}$ C(1 + t)ⁿ. Continus : $C e^{r n}$ C e^(rn). Pour $r$ r et $t$ t petits, c'est presque la même chose.

Cours et fiche

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Fonctions x ↦ qˣ : calculs, variations, modèles

Plaquette 2 – Puissances et règles de calcul

Plaquette 3 – Variations, comparaisons et balayage

Plaquette 4 – Modéliser avec une exponentielle

Plaquette 5 – Doublement, demi-vie et décisions