Dérivation et variations en Première STMG

Dérivation et variations en Première STMG : cours complet

La dérivation est un outil fondamental pour étudier les variations d'une fonction. En Première STMG, tu apprends à dériver les fonctions usuelles, à étudier leur signe et à en déduire les variations.

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé

Le nombre dérivé $f^{\prime }(a)$f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A(a;f(a))$A(a ; f(a)).

Tangente

Équation de la tangente :

$$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$$y = f'(a)(x - a) + f(a)

Fonction dérivée

La fonction $f^{\prime }$f' associe à chaque $x$x le nombre $f^{\prime }(x)$f'(x).

Dérivées des fonctions usuelles

Opérations sur les dérivées

$$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$$(u + v)' = u' + v'

$$(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$$(k u)' = k u'

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$(uv)' = u'v + uv'

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$(u/v)' = (u'v - uv')/v²

Exemples

$$f(x)=3x^2+5x-2⟹f^{\prime }(x)=6x+5$$f(x) = 3x² + 5x - 2 ⇒ f'(x) = 6x + 5

$$f(x)=(2x+1)(x-3)⟹f^{\prime }(x)=2(x-3)+(2x+1)=4x-5$$f(x) = (2x + 1)(x - 3) ⇒ f'(x) = 2(x - 3) + (2x + 1) = 4x - 5

Lien dérivée — variations

Extremums

Condition

Si $f^{\prime }(x_0)=0$f'(x₀) = 0 et $f^{\prime }$f' change de signe en $x_0$x₀, alors $f$f admet un extremum local en $x_0$x₀.

• $f^{\prime }$f' passe de $+$+ à $-$- : maximum local.
• $f^{\prime }$f' passe de $-$- à $+$+ : minimum local.

Étude complète d'une fonction

1. Domaine $D_f$D_f.
2. Dérivée $f^{\prime }$f'.
3. Signe de $f^{\prime }$f' (tableau).
4. Tableau de variations.
5. Extremums, valeurs particulières.

Exemple

$f(x)=x^2-4x+3$f(x) = x² - 4x + 3 sur $\mathbb{R}$ℝ.

• $f^{\prime }(x)=2x-4$f'(x) = 2x - 4.
• $f^{\prime }(x)=0⟺x=2$f'(x) = 0 ⇔ x = 2.
• $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0 pour $x>2$x > 2, $<0$< 0 pour $x<2$x < 2.
• Minimum $f(2)=-1$f(2) = -1 en $x=2$x = 2.

Optimisation (applications économiques)

Maximiser un profit

Profit $\pi (q)$π(q) en fonction de la quantité $q$q. Le maximum est atteint pour ${\pi }^{\prime }(q)=0$π'(q) = 0.

Exemple

$$\pi (q)=-2q^2+100q-200$$π(q) = -2q² + 100q - 200

$${\pi }^{\prime }(q)=-4q+100,{\pi }^{\prime }(q)=0⟺q=25$$π'(q) = -4q + 100, π'(q) = 0 ⇔ q = 25

Profit maximum : $\pi (25)=-1250+2500-200=1050$π(25) = -1250 + 2500 - 200 = 1050 €.

Minimiser un coût

Coût $C(q)$C(q) : minimum atteint pour $C^{\prime }(q)=0$C'(q) = 0 avec $C^{\prime \prime }>0$C'' > 0.

Erreurs fréquentes à éviter

• Mauvaise dérivée d'un produit ou quotient.
• Confondre $f$f et $f^{\prime }$f' dans le tableau.
• Oublier de vérifier le changement de signe pour un extremum.
• Mauvais signe dans la dérivée de $1/x$1/x.

FAQ — Dérivation et variations en Première STMG

Pourquoi étudier les variations ?

Pour comprendre le comportement d'une fonction, trouver les extremums (max/min), optimiser des grandeurs économiques.

À quoi sert l'optimisation en STMG ?

À maximiser un profit, minimiser un coût, choisir la quantité optimale à produire ou vendre.

Comment vérifier une dérivée ?

En la calculant à la main soigneusement, ou en testant avec un cas simple.

Quand y a-t-il un extremum ?

Quand $f^{\prime }(x_0)=0$f'(x₀) = 0 et $f^{\prime }$f' change de signe en $x_0$x₀.