Probabilités et variables aléatoires en Première STMG

Probabilités et variables aléatoires en Première STMG : cours complet

Les probabilités mesurent le hasard. Les variables aléatoires associent à chaque issue un nombre, et permettent de calculer l'espérance (gain moyen) et l'écart-type (mesure de risque).

Vocabulaire

• Expérience aléatoire : résultat lié au hasard.
• Univers $\Omega$Ω : ensemble des issues.
• Événement : sous-ensemble de $\Omega$Ω.

Calcul d'une probabilité

Cas équiprobables

$$P(A)=\frac{\text{issues favorables}}{\text{issues totales}}$$P(A) = (issues favorables)/(issues totales)

Propriétés

• $P(\bar{A})=1-P(A)$P(barA) = 1 - P(A).
• $0\le P(A)\le 1$0 ≤ P(A) ≤ 1.
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Variable aléatoire

Définition

Une variable aléatoire $X$X associe un nombre à chaque issue.

Loi de probabilité

Tableau donnant $P(X=x_i)$P(X = xᵢ) pour chaque valeur :

Avec $\sum p_i=1$Σ pᵢ = 1.

Espérance

Définition

$$E(X)=\sum _i{x}_i\times P(X=x_i)$$E(X) = Σᵢ xᵢ × P(X = xᵢ)

Interprétation

Gain moyen ou valeur moyenne à long terme.

Exemple

$$E(X)=-10\times 0,5+0\times 0,3+50\times 0,2=-5+10=5$$E(X) = -10 × 0,5 + 0 × 0,3 + 50 × 0,2 = -5 + 10 = 5

Variance et écart-type

$$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$$V(X) = E(X²) - (E(X))²

$$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$$σ(X) = √(V(X))

Interprétation

L'écart-type mesure la dispersion : plus il est grand, plus les résultats sont variables (risque).

Jeu équitable

Un jeu est équitable si $E(\text{gain})=0$E( gain ) = 0.

Exemple

Jeu à $5$5 € : tu gagnes $20$20 € avec probabilité $0,2$0,2, sinon tu perds ta mise.

Gain $X$X :

$$E(X)=-5\times 0,8+15\times 0,2=-4+3=-1$$E(X) = -5 × 0,8 + 15 × 0,2 = -4 + 3 = -1

Le jeu est défavorable au joueur (perte moyenne $1$1 € par partie).

Application : prise de décision

Investissement

Deux options :

• A : gain moyen $1000$1000 €, écart-type $200$200 €.
• B : gain moyen $1000$1000 €, écart-type $2000$2000 €.

Même espérance, mais B est plus risqué.

Choix selon la tolérance au risque

• Averse au risque : choisir A.
• Tolérant au risque : peut choisir B (gains potentiels plus élevés).

Arbre pondéré

Pour une expérience à plusieurs étapes, on utilise un arbre :

• À chaque branche, on indique la probabilité.
• Probabilité d'une feuille : produit le long de la branche.
• Probabilité d'un événement : somme des feuilles favorables.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de multiplier par les probabilités dans l'espérance.
• Mauvaise formule de variance : $E(X^2)-(E(X){)}^2$E(X²) - (E(X))².
• Variance négative : impossible.
• Confondre espérance et valeur la plus probable.

FAQ — Probabilités et variables aléatoires en STMG

À quoi sert l'espérance en gestion ?

À calculer le gain moyen attendu d'un projet, d'un investissement, d'une stratégie.

Pourquoi l'écart-type est-il important ?

Il mesure le risque : un faible écart-type = peu de variabilité = peu de risque.

Quand un jeu est-il équitable ?

Quand $E(\text{gain})=0$E( gain ) = 0 : sur le long terme, on ne gagne ni ne perd en moyenne.

Comment représenter une expérience complexe ?

Avec un arbre pondéré : visualisation claire des probabilités et des issues.