Probabilités : lois binomiale et normale en Terminale STMG

Probabilités : lois binomiale et normale en Terminale STMG : cours complet

En Terminale STMG, tu découvres la loi binomiale (comptage de succès) et la loi normale (loi en cloche). Ces lois sont incontournables en statistique inférentielle, contrôle qualité, marketing.

Rappels sur les variables aléatoires

$$E(X)=\sum _i{x}_{i}P(X=x_i)$$E(X) = Σᵢ xᵢ P(X = xᵢ)

$$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2;\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$$V(X) = E(X²) - (E(X))² ; σ(X) = √(V(X))

Loi binomiale

Définition

$X\sim \mathcal{B}(n,p)$X ~ B (n, p) : nombre de succès dans $n$n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$p.

Formule

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$P(X = k) = C(n, k) p^(k) (1 - p)^(n - k)

Espérance et variance

$$E(X)=np;V(X)=np(1-p);\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}$$E(X) = np ; V(X) = np(1 - p) ; σ(X) = √(np(1-p))

Calcul à la calculatrice

binomPdf(n, p, k) ou binomFdp(n, p, k) pour $P(X=k)$P(X = k).

binomCdf(n, p, k) ou binomFRép(n, p, k) pour $P(X\le k)$P(X ≤ k).

Exemple

$X\sim \mathcal{B}(50;0,1)$X ~ B (50 ; 0,1).

• $E(X)=5$E(X) = 5, $V(X)=4,5$V(X) = 4,5, $\sigma (X)\approx 2,12$σ(X) ≈ 2,12.
• $P(X=5)\approx 0,185$P(X = 5) ≈ 0,185.
• $P(X\le 7)\approx 0,878$P(X ≤ 7) ≈ 0,878.

Loi normale

Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$N (0, 1)

Loi de variable continue dont la densité est en cloche, symétrique autour de $0$0.

$$\mu =0,\sigma =1$$μ = 0, σ = 1

Loi normale générale $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$N (μ, σ²)

Moyenne $\mu$μ, écart-type $\sigma$σ. Densité en cloche autour de $\mu$μ.

Propriétés (« règle des 68-95-99,7 »)

Calcul à la calculatrice

normCdf(a, b, μ, σ) ou normFRép(a, b, μ, σ) pour $P(a\le X\le b)$P(a ≤ X ≤ b).

Standardisation

Pour $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$X ~ N (μ, σ²) :

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim \mathcal{N}(0,1)$$Z = (X - μ)/σ ~ N (0, 1)

Permet d'utiliser les tables de la loi normale centrée réduite.

Lien binomiale — normale

Théorème (approximation)

Pour $n$n grand et $p$p ni trop proche de $0$0 ni de $1$1 :

$$\mathcal{B}(n,p)\approx \mathcal{N}(np,np(1-p))$$B (n, p) ≈ N (np, np(1-p))

Conditions

$n\ge 30$n ≥ 30, $np\ge 5$np ≥ 5, $n(1-p)\ge 5$n(1-p) ≥ 5.

Utilité

Calculer rapidement des probabilités binomiales avec la loi normale.

Intervalle de fluctuation (loi normale)

Au seuil $95\%$95%

Pour $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$X ~ N (μ, σ²) :

$$P(\mu -1,96\sigma \le X\le \mu +1,96\sigma )\approx 0,95$$P(μ - 1,96 σ ≤ X ≤ μ + 1,96 σ) ≈ 0,95

Application aux fréquences

Si on échantillonne, la fréquence observée $F$F vérifie :

$$F\in \left[p-1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};p+1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$$F ∈ [ p - 1,96 √((p(1-p))/n) ; p + 1,96 √((p(1-p))/n) ]

avec probabilité $\approx 95\%$≈ 95%.

Applications

Contrôle qualité

Vérifier que le taux de défauts d'une chaîne de production reste dans la fluctuation normale.

Sondages

Estimer une proportion avec une marge d'erreur.

Marketing

Évaluer la probabilité d'un retour client positif.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $\sigma$σ et ${\sigma }^2$σ².
• Mauvais paramètres dans la binomiale ($n$n, $p$p).
• Oublier les conditions de validité de l'approximation normale.
• Mauvaise lecture de la table de la loi normale.

FAQ — Lois binomiale et normale en STMG

Quand utiliser la binomiale ?

Quand on répète $n$n épreuves indépendantes avec deux issues chacune, à proba $p$p constante.

Quand utiliser la normale ?

Pour des grandeurs continues dont la distribution est en cloche : tailles, scores, mesures, erreurs.

Pourquoi la normale est-elle si répandue ?

À cause du théorème central limite : presque toute somme de petites variables aléatoires tend à suivre une loi normale.

À quoi sert l'intervalle de fluctuation ?

À savoir si une observation est « normale » ou anormale au regard du modèle théorique.