Statistiques à deux variables en Terminale STMG

Statistiques à deux variables en Terminale STMG : cours complet

Quand on observe deux caractères simultanément (taille et poids, prix et ventes, années et chiffre d'affaires), on étudie leur lien. La régression linéaire permet de modéliser la relation et de prédire.

Série à deux variables

Définition

Couples $(x_i;y_i)$(xᵢ ; yᵢ), $i=1,\dots ,n$i = 1, …, n.

Représentation

Nuage de points dans un repère.

Interprétation visuelle

• Points alignés : forte corrélation linéaire.
• Points dispersés : peu de corrélation.

Point moyen

$$G(\overline{x};\overline{y})$$G(x̅ ; y̅)

avec $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$x̅ = 1/n Σ xᵢ et $\overline{y}=\frac{1}{n}\sum y_i$y̅ = 1/n Σ yᵢ.

Propriété

Le point moyen appartient toujours à la droite d'ajustement.

Droite d'ajustement (moindres carrés)

Principe

On cherche la droite $y=ax+b$y = ax + b qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux aux points.

Formules

$$a=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}$$a = (Σ (xᵢ - x̅)(yᵢ - y̅))/(Σ (xᵢ - x̅)²)

$$b=\overline{y}-a\overline{x}$$b = y̅ - a x̅

En pratique

Utiliser la calculatrice ou un tableur : régression linéaire.

Coefficient de corrélation linéaire

$$r=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2\times \sum (y_i-\overline{y}{)}^2}}$$r = (Σ (xᵢ - x̅)(yᵢ - y̅))/(√(Σ (xᵢ - x̅)² × Σ (yᵢ - y̅)²))

Interprétation

• $r$r compris entre $-1$-1 et $1$1.
• $|r|\approx 1$|r| ≈ 1 : forte corrélation linéaire.
• $r\approx 0$r ≈ 0 : pas de corrélation linéaire.
• $r>0$r > 0 : corrélation positive (croissante).
• $r<0$r < 0 : corrélation négative (décroissante).

Utilisation : prédiction

Interpolation

Prédire $y$y pour un $x$x dans l'intervalle des données observées.

Extrapolation

Prédire $y$y pour un $x$x hors de l'intervalle. Plus risqué.

Exemple

CA d'une entreprise sur $5$5 ans :

Après calcul : $y\approx 23x+78$y ≈ 23 x + 78.

Prédiction pour année $7$7 : $y\approx 23\times 7+78=239$y ≈ 23 × 7 + 78 = 239 k€.

Corrélation $\ne$≠ causalité

Important : corrélation ne signifie pas que $x$x cause $y$y.

Exemple

Ventes de glaces et noyades sont corrélées (en été), mais l'un ne cause pas l'autre. C'est la température qui cause les deux.

Changements de variables

Linéariser une croissance exponentielle

Si $y=a{e}^{bx}$y = a e^(bx) : prendre $z=\ln y$z = ln y.

$$z=\ln a+bx$$z = ln a + b x

→ Relation linéaire entre $x$x et $z$z.

Linéariser une loi de puissance

Si $y=a{x}^b$y = a x^(b) : prendre $\ln$ln.

$$\ln y=\ln a+b\ln x$$ln y = ln a + b ln x

→ Relation linéaire entre $\ln x$ln x et $\ln y$ln y.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre corrélation et causalité.
• Extrapoler imprudemment loin des données.
• Croire que $r\approx 0$r ≈ 0 signifie « pas de lien » : il peut y avoir un lien non linéaire.
• Mauvaise lecture du nuage de points.

FAQ — Statistiques à deux variables en Terminale STMG

À quoi sert la régression linéaire ?

À modéliser la relation entre deux grandeurs et à faire des prédictions.

Comment interpréter $r=0,95$r = 0,95 ?

Forte corrélation positive : quand $x$x augmente, $y$y augmente, de façon très régulière.

Quand utiliser un changement de variable ?

Quand la relation entre $x$x et $y$y n'est pas linéaire (croissance exponentielle, loi de puissance…).

Faut-il toujours faire une régression linéaire ?

Non : seulement si le nuage suggère une relation linéaire. Sinon, choisir un autre modèle.