Formule · Terminale spé maths

Formule : Solution particulière constante

La constante qui annule y' dans l'équation.

y^{'} = a y + b \Rightarrow y_{p} = - \frac{b}{a} (a \neq = 0)

y' = ay + b ⇒ yₚ = -b/a (a ≠ 0)

Ce que dit la formule

Pour $y^{'} = a y + b$ y' = ay + b, on cherche une solution constante $y_{p}$ yₚ : alors $y_{p}^{'} = 0$ yₚ' = 0, donc $0 = a y_{p} + b$ 0 = a yₚ + b, d'où $y_{p} = - \frac{b}{a}$ yₚ = -b/a.

La solution générale est la somme de cette solution particulière et des solutions de $y^{'} = a y$ y' = ay : $y = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ y = C e ^(ax) - b/a.

Exemple sur les équations différentielles

Pour

y^{'} = - 2 y + 6

y' = -2y + 6 :

y_{p} = - \frac{6}{- 2} = 3

yₚ = -6/(-2) = 3.

Piège à éviter avec les équations différentielles

Attention au signe :

y_{p} = - \frac{b}{a}

yₚ = -b/a. Pour

y^{'} = - 2 y + 6

y' = -2y + 6, cela donne

+ 3

+3, pas

- 3

-3.

Les autres formules des équations différentielles

Solutions de y' = ay et y' = ay + b →

y^{'} = a y \Rightarrow y = C e^{a x} y^{'} = a y + b \Rightarrow y = C e^{a x} - \frac{b}{a}

y' = ay ⇒ y = C e ^(ax) y' = ay + b ⇒ y = C e ^(ax) - b/a

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