Exercices types · Terminale spé maths

Le seuil d'une suite — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Capital placé

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n} = 1000 \times 1, 0 5^{n}

uₙ = 1000× 1,05ⁿ, trouver le plus petit

n

n avec

u_{n} \geq 1500

uₙ ≥ 1500.

Voir la correction

1.
$u_{8} \approx 1477$ u₈ ≈ 1477, $u_{9} \approx 1551$ u₉ ≈ 1551.
→ Recherche de seuil
2.
Seuil au rang $n = 9$ n = 9.

Réponse :

n = 9

n = 9.

Méthode utilisée : On cherche le plus petit $n$ n franchissant la cible (par résolution ou en testant les termes).

Suite arithmétique

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n} = 5 + 3 n

uₙ = 5 + 3n, trouver le plus petit

n

n tel que

u_{n} \geq 50

uₙ ≥ 50.

Voir la correction

1.
$5 + 3 n \geq 50 ⟺ 3 n \geq 45 ⟺ n \geq 15$ 5 + 3n ≥ 50 ⇔ 3n ≥ 45 ⇔ n ≥ 15.
→ Recherche de seuil
2.
Seuil au rang $n = 15$ n = 15.

Réponse :

n = 15

n = 15.

Dépassement de 100

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n} = 2^{n}

uₙ = 2ⁿ, trouver le plus petit

n

n tel que

u_{n} \geq 100

uₙ ≥ 100.

Voir la correction

1.
$2^{6} = 64 < 100$ 2⁶ = 64 < 100, $2^{7} = 128 \geq 100$ 2⁷ = 128 ≥ 100.
→ Recherche de seuil
2.
Seuil au rang $n = 7$ n = 7.

Réponse :

n = 7

n = 7.

Suite décroissante

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n} = 100 - 5 n

uₙ = 100 - 5n, trouver le plus petit

n

n tel que

u_{n} \leq 0

uₙ ≤ 0.

Voir la correction

1.
$100 - 5 n \leq 0 ⟺ n \geq 20$ 100 - 5n ≤ 0 ⇔ n ≥ 20.
→ Recherche de seuil
2.
Seuil au rang $n = 20$ n = 20.

Réponse :

n = 20

n = 20.

Géométrique décroissante

Niveau 3 · Type contrôle

Pour

u_{n} = 100 \times 0, 5^{n}

uₙ = 100× 0,5ⁿ, trouver le plus petit

n

n tel que

u_{n} \leq 1

uₙ ≤ 1.

Voir la correction

1.
$u_{6} = 100 \times 0, 5^{6} = 1, 5625 > 1$ u₆ = 100× 0,5⁶ = 1,5625 > 1, $u_{7} = 0, 78 \leq 1$ u₇ = 0,78 ≤ 1.
→ Recherche de seuil
2.
Seuil au rang $n = 7$ n = 7.

Réponse :

n = 7

n = 7.

Inéquation directe

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n} = 2 n + 1

uₙ = 2n + 1, à partir de quel rang

u_{n} > 20

uₙ > 20 ?

Voir la correction

1.
$2 n + 1 > 20 ⟺ n > 9, 5$ 2n + 1 > 20 ⇔ n > 9,5.
→ Recherche de seuil
2.
Le plus petit entier est $n = 10$ n = 10.

Réponse :

n = 10

n = 10.

Population

Niveau 3 · Type contrôle

Une population suit

u_{n} = 200 \times 1, 1^{n}

uₙ = 200× 1,1ⁿ. À partir de quel rang dépasse-t-elle

400

400 ?

Voir la correction

1.
On cherche $u_{n} \geq 400$ uₙ ≥ 400, soit $1, 1^{n} \geq 2$ 1,1ⁿ ≥ 2.
→ Recherche de seuil
2.
$1, 1^{7} \approx 1, 95$ 1,1⁷ ≈ 1,95, $1, 1^{8} \approx 2, 14$ 1,1⁸ ≈ 2,14 : seuil au rang $n = 8$ n = 8.

Réponse :

n = 8

n = 8.

Vérifier un seuil

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n} = 3^{n}

uₙ = 3ⁿ, le seuil pour

u_{n} \geq 200

uₙ ≥ 200 est-il

n = 5

n = 5 ?

Voir la correction

1.
$3^{4} = 81 < 200$ 3⁴ = 81 < 200, $3^{5} = 243 \geq 200$ 3⁵ = 243 ≥ 200.
→ Recherche de seuil
2.
Oui, le seuil est $n = 5$ n = 5.

Réponse : Oui,

n = 5

n = 5.

Premier terme à dépasser

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n} = 4 n

uₙ = 4n, quel est le premier rang où

u_{n} \geq 30

uₙ ≥ 30 ?

Voir la correction

1.
$4 n \geq 30 ⟺ n \geq 7, 5$ 4n ≥ 30 ⇔ n ≥ 7,5.
→ Recherche de seuil
2.
$n = 8$ n = 8.

Réponse :

n = 8

n = 8.

Problème : économies

Niveau 3 · Type contrôle

On épargne

50

50 € le 1ᵉʳ mois (

u_{0} = 50

u₀ = 50), puis

20

20 € de plus chaque mois. À partir de quel mois l'épargne mensuelle dépasse-t-elle

200

200 € ?

Voir la correction

1.
$u_{n} = 50 + 20 n \geq 200 ⟺ 20 n \geq 150 ⟺ n \geq 7, 5$ uₙ = 50 + 20n ≥ 200 ⇔ 20n ≥ 150 ⇔ n ≥ 7,5.
→ Recherche de seuil
2.
$n = 8$ n = 8 (le 8ᵉ mois après le départ).

Réponse : Au rang

n = 8

n = 8.

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