Notion

La limite d'une suite

La limite d'une suite décrit vers quoi tendent ses termes $u_{n}$ uₙ quand $n$ n devient très grand. Une suite converge si ses termes se rapprochent autant qu'on veut d'un nombre $ℓ$ ℓ, sa limite finie ; sinon elle diverge, soit vers $\pm \infty$ ±∞, soit sans limite (comme une suite qui oscille). Pour une suite géométrique de raison $q$ q, tout dépend de $q$ q : elle tend vers $0$ 0 si $∣ q ∣ < 1$ |q|<1, vers $+ \infty$ +∞ si $q > 1$ q>1. Des théorèmes aident à conclure : limites de référence, opérations, théorème des gendarmes, théorème de la limite monotone (une suite croissante majorée converge). Le calcul de limites de suites est central en terminale, notamment pour les suites récurrentes.

Définitions

Suite convergente: Une suite $(u_{n})$ (uₙ) converge vers un réel $ℓ$ ℓ si ses termes se rapprochent autant qu'on veut de $ℓ$ ℓ quand $n$ n devient grand. On note $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ lim_n→+∞ uₙ = ℓ.
Limite infinie: Une suite a pour limite $+ \infty$ +∞ si ses termes finissent par dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit-il (et $- \infty$ -∞ si elle descend sans fin). La suite est alors divergente.
Suite divergente: Une suite est divergente si elle ne converge pas : soit sa limite est infinie, soit elle n'a pas de limite du tout (par exemple $u_{n} = (- 1)^{n}$ uₙ = (-1)ⁿ, qui alterne entre $- 1$ -1 et $1$ 1).

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Opérations sur les limites →

lim (u_{n} + v_{n}) = lim u_{n} + lim v_{n} lim (u_{n} \times v_{n}) = lim u_{n} \times lim v_{n}

lim (uₙ + vₙ) = lim uₙ + lim vₙ lim (uₙ × vₙ) = lim uₙ × lim vₙCombiner les limites d'une somme, d'un produit ou d'un quotient.Limites des suites de référence →

n \to + \infty lim \frac{1}{n} = 0 n \to + \infty lim n = + \infty n \to + \infty lim n = + \infty

lim_n→+∞1/n = 0 lim_n→+∞ n = +∞ lim_n→+∞√(n) = +∞Les limites de base à connaître par cœur.Limite d'une suite géométrique qⁿ →

n \to + \infty lim q^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 01 + \infty si - 1 < q < 1 si q = 1 si q > 1

lim_n→+∞ q^(n) = 0 & si -1 < q < 1 ; 1 & si q = 1 ; +∞ & si q > 1Le comportement de qⁿ dépend entièrement de la valeur de q.

Méthodes

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Calculer une limite de suite →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Limite d'une suite de référence

Niveau 1 · Application directe

Déterminer

lim_{n \to + \infty} u_{n}

lim_n→+∞ uₙ pour

u_{n} = 2 + \frac{1}{n}

uₙ = 2 + 1/n.

Voir la correction

1.
On sait que $\frac{1}{n} \to 0$ 1/n → 0 quand $n \to + \infty$ n → +∞.
→ Limites des suites de référence
2.
Donc $u_{n} = 2 + \frac{1}{n} \to 2 + 0 = 2$ uₙ = 2 + 1/n → 2 + 0 = 2.

Réponse :

lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2

lim_n→+∞ uₙ = 2 : la suite converge vers

2

Méthode utilisée : $\frac{1}{n} \to 0$ 1/n→ 0, donc $u_{n} \to 2$ uₙ→ 2.

Limite d'un quotient

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la limite de

u_{n} = \frac{3 n + 1}{n}

uₙ = (3n + 1)/n.

Voir la correction

1.
On transforme : $u_{n} = \frac{3 n}{n} + \frac{1}{n} = 3 + \frac{1}{n}$ uₙ = 3n/n + 1/n = 3 + 1/n.
2.
$\frac{1}{n} \to 0$ 1/n → 0, donc $u_{n} \to 3$ uₙ → 3.
→ Limites des suites de référence

Réponse :

lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3

lim_n→+∞ uₙ = 3.

Méthode utilisée : On simplifie : $\frac{3 n + 1}{n} = 3 + \frac{1}{n} \to 3$ (3n+1)/n=3+1/n→ 3.

Erreur fréquente : Conclure $+ \infty$ +∞ pour un quotient de même degré.

Faire les 10 exercices types sur limite d'une suite8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi la limite d'une suite, simplement ?

C'est la valeur vers laquelle les termes se rapprochent quand on avance très loin dans la suite. Image : si chaque jour tu te rapproches de moitié d'un mur, tu n'y touches jamais mais tu t'en approches de plus en plus — la limite, c'est le mur.

Que veut dire « la suite tend vers +∞ » ?

Que ses termes deviennent aussi grands qu'on veut, sans jamais s'arrêter de croître. Par exemple un capital qui double chaque année finit par dépasser n'importe quelle somme : sa limite est +∞.

Quelle différence entre convergente et divergente ?

Une suite convergente se stabilise vers une valeur finie. Une suite divergente, non : soit elle part vers l'infini, soit elle n'a pas de limite (comme une suite qui saute sans cesse entre deux valeurs).

Pourquoi 1/n tend vers 0 ?

Parce que diviser 1 par un nombre de plus en plus grand donne un résultat de plus en plus petit : 1/10, 1/1000, 1/1000000… On s'approche de 0 autant qu'on veut, même si on ne l'atteint jamais exactement.

Comment trouver la limite d'une suite géométrique ?

On regarde sa raison q. Si q est entre −1 et 1, la suite tend vers 0 ; si q = 1, elle reste constante ; si q > 1, elle tend vers +∞. Tout dépend de la position de q par rapport à 1.

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