Notion

La suite récurrente

Une suite définie par récurrence est une suite dont chaque terme se calcule à partir du précédent, à l'aide d'une relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$ uₙ₊₁=f(uₙ) et d'un premier terme donné. Par exemple, $u_{0} = 2$ u₀=2 et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3$ uₙ₊₁=0,5 uₙ+3 définissent entièrement la suite, terme après terme. Contrairement à une formule explicite $u_{n}$ uₙ en fonction de $n$ n, la relation de récurrence ne donne pas directement un terme lointain : il faut calculer tous les précédents, ou trouver l'expression explicite. On étudie ces suites par récurrence (pour prouver un encadrement ou une monotonie), et leur éventuelle limite $ℓ$ ℓ vérifie l'équation de point fixe $ℓ = f (ℓ)$ ℓ=f(ℓ). Elles sont très fréquentes au bac.

Définitions

Suite récurrente: C'est une suite définie par son premier terme et une relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$ uₙ₊₁ = f(uₙ) qui donne chaque terme à partir du précédent.
Relation de récurrence: C'est la formule $u_{n + 1} = f (u_{n})$ uₙ₊₁=f(uₙ) qui donne chaque terme à partir du précédent. Avec le premier terme, elle définit toute la suite.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Relation de récurrence →

u_{n + 1} = f (u_{n}), u_{0} donn \overset{e}{ˊ}

uₙ₊₁ = f(uₙ), u₀ donnéChaque terme dépend du précédent.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Étudier une suite récurrente →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Premiers termes

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}

uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2,

u_{0} = 0

u₀ = 0, calculer

u_{1}

u₁ et

u_{2}

u₂.

Voir la correction

1.
$u_{1} = \frac{0 + 3}{2} = 1, 5$ u₁ = (0+3)/2 = 1,5.
→ Relation de récurrence
2.
$u_{2} = \frac{1 , 5 + 3}{2} = 2, 25$ u₂ = (1,5+3)/2 = 2,25.

Réponse :

u_{1} = 1, 5

u₁ = 1,5,

u_{2} = 2, 25

u₂ = 2,25.

Méthode utilisée : On calcule les termes de proche en proche.

Récurrence affine

Niveau 2 · Méthode complète

Pour

u_{n + 1} = 2 u_{n} + 1

uₙ₊₁ = 2uₙ + 1,

u_{0} = 1

u₀ = 1, calculer

u_{1}, u_{2}, u_{3}

u₁, u₂, u₃.

Voir la correction

1.
$u_{1} = 2 \times 1 + 1 = 3$ u₁ = 2× 1 + 1 = 3.
→ Relation de récurrence
2.
$u_{2} = 7$ u₂ = 7, $u_{3} = 15$ u₃ = 15.

Réponse :

3, 7, 15

3, 7, 15.

Faire les 10 exercices types sur suite récurrente8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une suite récurrente ?

C'est une suite où chaque terme se calcule à partir du précédent, par une relation comme u(n+1) = f(u(n)). On avance « de proche en proche ».

Comment calculer les termes ?

On part du premier terme u₀, on applique la relation pour obtenir u₁, puis u₂, etc. Chaque terme utilise le précédent.

Peut-on calculer u₁₀₀ directement ?

En général non : il faut passer par tous les termes précédents, sauf si on trouve une formule explicite. C'est la différence avec une suite donnée par uₙ = … directement.

Quelle différence entre formule explicite et récurrente ?

Une formule explicite donne uₙ directement en fonction de n ; une relation de récurrence donne uₙ₊₁ en fonction de uₙ, donc on calcule les termes de proche en proche.

Comment calculer les premiers termes d'une suite récurrente ?

On part de u₀ donné, puis on applique la relation : on remplace uₙ par sa valeur pour obtenir uₙ₊₁, et on répète.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur suites en terminale

Raisonnement par récurrence, limites de suites, suites récurrentes et algorithmes de seuil.

Le cours

Suites : récurrence et limites — cours Terminale spé

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Annales Bac Spécialité Maths Terminale

Outils et pages dédiées

Algorithme de seuil en Python

Le chapitre complet, avec fiche et exercices corrigés en PDF :

Suites (récurrence, limites) — Terminale spé maths →