Suites : récurrence et limites en Terminale spé maths

Suites : récurrence et limites en Terminale spé : cours complet

En Terminale spé, tu maîtrises le raisonnement par récurrence, tu étudies les limites de suites et tu manipules les suites convergentes.

Raisonnement par récurrence

Principe

Pour démontrer une propriété $P(n)$P(n) pour tout $n\ge n_0$n ≥ n₀ :

1. Initialisation : vérifier $P(n_0)$P(n₀).
2. Hérédité : montrer que pour tout $n\ge n_0$n ≥ n₀, $P(n)⟹P(n+1)$P(n) ⇒ P(n+1).
3. Conclusion : $P(n)$P(n) est vraie pour tout $n\ge n_0$n ≥ n₀.

Exemple

Démontrer que $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$1 + 2 + … + n = (n(n+1))/2 pour tout $n\ge 1$n ≥ 1.

• Init : $n=1$n = 1 : $1=\frac{1\times 2}{2}$1 = (1 × 2)/2 ✓.
• Hérédité : supposons que $1+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$1 + … + n = (n(n+1))/2. Alors : $$1+\cdots +n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$1 + … + n + (n+1) = (n(n+1))/2 + (n+1) = ((n+1)(n+2))/2 C'est bien $P(n+1)$P(n+1).
• Conclusion : la formule est vraie pour tout $n\ge 1$n ≥ 1.

Limite d'une suite

Définitions intuitives

• ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=\ell$lim_n → +∞ uₙ = ℓ : les termes $u_n$uₙ se rapprochent de $\ell$ℓ aussi près qu'on veut, pour $n$n assez grand.
• ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=+\infty$lim_n → +∞ uₙ = +∞ : les termes deviennent aussi grands qu'on veut.

Définition formelle (convergence)

$\lim u_n=\ell$lim uₙ = ℓ si : pour tout $\epsilon >0$ε > 0, il existe $n_0$n₀ tel que pour tout $n\ge n_0$n ≥ n₀, $|u_n-\ell |<\epsilon$|uₙ - ℓ| < ε.

Limites des suites usuelles

Suites de référence

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0;\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0(k>0)$$lim_n → +∞ 1/n = 0 ; lim_n → +∞ 1/n^(k) = 0 (k > 0)

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}=0$$lim_n → +∞ 1/√(n) = 0

Suites géométriques de raison $q$q

Opérations sur les limites

Somme

Produit

Règle des signes (et $0\times \infty$0 × ∞ → F.I.).

Quotient

Si $\lim v_n\ne 0$lim vₙ ≠ 0 : $\lim u_n/v_n=\lim u_n/\lim v_n$lim uₙ / vₙ = lim uₙ / lim vₙ. Sinon, on étudie selon le signe de $v_n$vₙ au voisinage.

Formes indéterminées

Quatre formes :

$$\infty -\infty ,0\times \infty ,\frac{\infty }{\infty },\frac{0}{0}$$∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0

Méthodes

• Polynôme : factoriser par le terme dominant.
• Quotient de polynômes : prendre le rapport des termes dominants.
• Conjugué pour les racines.

Théorèmes de comparaison

Théorème des gendarmes

Si $u_n\le v_n\le w_n$uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ à partir d'un certain rang et $\lim u_n=\lim w_n=\ell$lim uₙ = lim wₙ = ℓ, alors $\lim v_n=\ell$lim vₙ = ℓ.

Théorème de comparaison (limites infinies)

• Si $u_n\ge v_n$uₙ ≥ vₙ et $\lim v_n=+\infty$lim vₙ = +∞, alors $\lim u_n=+\infty$lim uₙ = +∞.
• Si $u_n\le v_n$uₙ ≤ vₙ et $\lim v_n=-\infty$lim vₙ = -∞, alors $\lim u_n=-\infty$lim uₙ = -∞.

Théorème de la convergence monotone

• Toute suite croissante majorée converge.
• Toute suite décroissante minorée converge.
• Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$+∞.
• Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$-∞.

Suite arithmético-géométrique

$$u_{n+1}=a{u}_n+b(a\ne 1)$$uₙ₊₁ = a uₙ + b (a ≠ 1)

On cherche le point fixe $\ell =\frac{b}{1-a}$ℓ = b/(1 - a), puis $v_n=u_n-\ell$vₙ = uₙ - ℓ est géométrique de raison $a$a.

$$u_n=(u_0-\ell )a^n+\ell$$uₙ = (u₀ - ℓ) aⁿ + ℓ

Limite

• $|a|<1$|a| < 1 : $\lim u_n=\ell$lim uₙ = ℓ.
• $|a|>1$|a| > 1 : suite divergente.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier l'initialisation ou l'hérédité.
• Mauvais cas pour $q^n$qⁿ.
• Confondre limite et valeur d'un terme.
• Mal lever une FI : utiliser la bonne méthode.

FAQ — Suites en Terminale spé

Pourquoi la récurrence ?

C'est la seule façon de prouver une propriété pour tous les entiers sans avoir à la vérifier un par un.

Comment savoir si une suite est convergente ?

Plusieurs critères : monotonie + majorée/minorée, comparaison, théorème des gendarmes…

Quelle est la différence entre divergence vers $\infty$∞ et pas de limite ?

Diverge vers $+\infty$+∞ : tend vers l'infini. Pas de limite : oscille sans direction (comme $(-1{)}^n$(-1)ⁿ).

À quoi servent les limites de suites ?

À étudier le comportement asymptotique, à modéliser des équilibres (population, économie), à comprendre les séries (en études sup.).