Le seuil d'une suite est le plus petit rang n à partir duquel les termes de la suite (uₙ) franchissent une valeur donnée (dépasser 1000, ou devenir inférieurs à 0,01). Déterminer un seuil, c'est résoudre une inéquation du type uₙ>A ou uₙ<ε. Quand uₙ a une forme explicite avec une puissance, on la résout à l'aide du logarithme ; sinon, on utilise un algorithme qui calcule les termes un à un jusqu'à ce que la condition soit remplie. Les problèmes de seuil sont fréquents au bac, notamment pour les suites géométriques convergentes et dans les questions d'algorithmique avec une boucle « Tant que ».
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Méthode utilisée : On cherche le plus petit n franchissant la cible (par résolution ou en testant les termes).
C'est le premier rang à partir duquel la suite dépasse (ou descend sous) une valeur donnée. Par exemple, à partir de quelle année un capital dépasse 1500 €.
Soit on calcule les termes un par un jusqu'à franchir la cible, soit on résout l'inéquation uₙ ≥ S (avec le logarithme pour une suite géométrique).
Parce qu'on l'écrit souvent en Python avec une boucle while : on avance dans la suite tant qu'on n'a pas atteint la cible, en comptant les étapes.
On résout l'inéquation correspondante (par exemple uₙ > A) quand c'est possible, sinon on teste les termes successifs jusqu'à franchir le seuil.
À répondre à des questions du type « à partir de quelle année la population dépasse un million ? » : on cherche le premier rang qui franchit une valeur.
Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.
Raisonnement par récurrence, limites de suites, suites récurrentes et algorithmes de seuil.
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Suites (récurrence, limites) — Terminale spé maths →