Exercices corrigés : Limites de suites — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^2=+\infty$lim_n→+∞ n²=+∞ (la suite croît sans limite).

2. 2

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$lim_n→+∞1/n=0 (l'inverse d'un nombre de plus en plus grand tend vers $0$0).

3. 3

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{n}=+\infty$lim_n→+∞ √n =+∞.

Rappel de cours : Limites de référence : $n$n, $n^2$n², $n^3$n³, $\sqrt{n}\to +\infty$√n →+∞ ; $\frac{1}{n}$1/n, $\frac{1}{n^2}\to 0$1/n²→ 0.

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1. 1

   $q=2>1$q=2>1 : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{2}^n=+\infty$lim_n→+∞ 2ⁿ=+∞.

2. 2

   $q=0,5$q=0,5 avec $-1<0,5<1$-1<0,5<1 : $\underset{n\to +\infty }{\lim }0,5^n=0$lim_n→+∞ 0,5ⁿ=0.

Rappel de cours : Pour $q^n$qⁿ : si $q>1$q>1, $\to +\infty$→+∞ ; si $-1<q<1$-1<q<1, $\to 0$→ 0 ; si $q=1$q=1, $\to 1$→ 1 ; si $q\le -1$q≤ -1, pas de limite.

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1. 1

   $\frac{3}{n^2}\to 0$3/n²→ 0, donc $5-\frac{3}{n^2}\to 5$5-3/n²→ 5.

2. 2

   $-\frac{1}{n}\le \frac{(-1{)}^n}{n}\le \frac{1}{n}$-1/n≤((-1)ⁿ)/n≤1/n, et les deux bornes tendent vers $0$0.

   Par le théorème des gendarmes, la limite est $0$0.

Rappel de cours : Théorème des gendarmes : si $v_n\le u_n\le w_n$vₙ≤ uₙ≤ wₙ avec $v_n$vₙ et $w_n$wₙ de même limite $\ell$ℓ, alors $u_n\to \ell$uₙ→ℓ.

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1. 1

   $\frac{3}{4}=0,75$3/4=0,75 avec $-1<0,75<1$-1<0,75<1 : la limite est $0$0.

2. 2

   $\frac{5}{2}=2,5>1$5/2=2,5>1 : la limite est $+\infty$+∞.

Rappel de cours : On compare la raison à $1$1 : une fraction $<1$<1 donne $0$0, une fraction $>1$>1 donne $+\infty$+∞.

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1. 1

   $\frac{2}{n}\to 0$2/n→ 0, donc $3+\frac{2}{n}\to 3$3+2/n→ 3.

2. 2

   $n^2\to +\infty$n²→+∞ et $\frac{1}{n}\to 0$1/n→ 0, donc la somme $\to +\infty$→+∞.

Rappel de cours : On combine les limites terme à terme, sauf en cas de forme indéterminée ($\infty -\infty$∞-∞, $\frac{\infty }{\infty }$∞/∞, $0\times \infty$0×∞).

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1. 1

   Forme indéterminée $\infty -\infty$∞-∞.

   On factorise par le terme dominant $n^2$n².

2. 2

   $n^2-3n=n^2\left(1-\frac{3}{n}\right)$n²-3n = n² (1-3/n).

3. 3

   $n^2\to +\infty$n²→+∞ et $1-\frac{3}{n}\to 1$1-3/n→ 1, donc le produit $\to +\infty$→+∞.

Rappel de cours : Comme pour les fonctions : face à $\infty -\infty$∞-∞, on factorise par le terme dominant.

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1. 1

   $|-0,5|<1$|-0,5|<1 : $(-0,5{)}^n\to 0$(-0,5)ⁿ→ 0 (les termes alternent de signe mais leur valeur absolue $0,5^n$0,5ⁿ tend vers $0$0).

2. 2

   $(-2{)}^n$(-2)ⁿ vaut $2^n$2ⁿ pour $n$n pair et $-2^n$-2ⁿ pour $n$n impair : elle prend des valeurs aussi grandes qu'on veut, positives et négatives.

   Elle n'a pas de limite.

Rappel de cours : $q^n\to 0$qⁿ→ 0 si $-1<q<1$-1<q<1 ; $q^n\to +\infty$qⁿ→+∞ si $q>1$q>1 ; pas de limite si $q\le -1$q≤ -1.

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1. 1

   Forme $\frac{\infty }{\infty }$∞/∞.

   On factorise haut et bas par $n$n.

2. 2

   $\frac{2n+1}{n+3}=\frac{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{3}{n}\right)}=\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}$(2n+1)/(n+3)=(n (2+1/n))/(n (1+3/n))=(2+1/n)/(1+3/n).

3. 3

   $\frac{1}{n}\to 0$1/n→ 0 et $\frac{3}{n}\to 0$3/n→ 0, donc la limite vaut $\frac{2}{1}=2$2/1=2.

Rappel de cours : Quotient de polynômes en $n$n : la limite est le quotient des termes dominants (ici $\frac{2n}{n}=2$2n/n=2).

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1. 1

   On sépare : $\frac{2^n+1}{2^n}=\frac{2^n}{2^n}+\frac{1}{2^n}=1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$(2ⁿ+1)/2ⁿ=2ⁿ/2ⁿ+1/2ⁿ=1+(1/2)ⁿ.

2. 2

   ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$(1/2)ⁿ→ 0, donc la limite vaut $1+0=1$1+0=1.

Rappel de cours : $\frac{1}{2^n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$1/2ⁿ=(1/2)ⁿ→ 0. Séparer la fraction simplifie souvent le calcul.

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1. 1

   Pour tout $n$n, $-1\le \sin n\le 1$-1≤ sin n≤ 1.

   En divisant par $n>0$n>0 : $-\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}$-1/n≤(sin n)/n≤1/n.

2. 2

   $-\frac{1}{n}\to 0$-1/n→ 0 et $\frac{1}{n}\to 0$1/n→ 0.

3. 3

   Par le théorème des gendarmes, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}=0$lim_n→+∞(sin n)/n=0.

Rappel de cours : Théorème des gendarmes : si $a_n\le u_n\le b_n$aₙ≤ uₙ≤ bₙ avec $a_n$aₙ et $b_n\to \ell$bₙ→ℓ, alors $u_n\to \ell$uₙ→ℓ. Utile avec $\sin$sin, $\cos$cos, $(-1{)}^n$(-1)ⁿ.

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1. 1

   $n^2-5\to +\infty$n²-5→+∞ quand $n\to +\infty$n→+∞.

2. 2

   Or $u_n\ge n^2-5$uₙ≥ n²-5 : la suite $(u_n)$(uₙ) est minorée par une suite qui tend vers $+\infty$+∞.

3. 3

   Par le théorème de comparaison, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$lim_n→+∞ uₙ=+∞.

Rappel de cours : Comparaison : si $u_n\ge v_n$uₙ≥ vₙ et $v_n\to +\infty$vₙ→+∞, alors $u_n\to +\infty$uₙ→+∞ (et symétriquement vers $-\infty$-∞ avec $\le$≤).

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1. 1

   On compare la croissance de $n$n (polynomiale) et de $2^n$2ⁿ (exponentielle).

2. 2

   L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $n$n : $\frac{n}{2^n}\to 0$n/2ⁿ→ 0.

Rappel de cours : Croissance comparée version suites : $\frac{n^k}{q^n}\to 0$n^(k)/qⁿ→ 0 si $q>1$q>1. « L'exponentielle écrase le polynôme. »

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1. 1

   Forme $\infty -\infty$∞-∞.

   On factorise par le terme dominant : $3^n-2^n=3^n\left(1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right)$3ⁿ-2ⁿ=3ⁿ(1-(2/3)ⁿ).

2. 2

   ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$(2/3)ⁿ→ 0, donc la parenthèse tend vers $1$1 ; $3^n\to +\infty$3ⁿ→+∞.

3. 3

   Par produit, la limite est $+\infty$+∞.

Rappel de cours : Face à une forme indéterminée, on factorise par le terme qui « l'emporte ».

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1. 1

   Le théorème de la limite monotone affirme : toute suite croissante et majorée converge (vers un réel $\ell \le 10$ℓ≤ 10).

2. 2

   Donc $(u_n)$(uₙ) converge.

3. 3

   En revanche, une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$+∞ (elle diverge).

Rappel de cours : Théorème de la limite monotone : croissante majorée $\Rightarrow$⇒ converge ; décroissante minorée $\Rightarrow$⇒ converge.

Erreur fréquente : Le théorème donne la convergence, mais pas la valeur de la limite : il ne dit pas que $\ell =10$ℓ=10, seulement $\ell \le 10$ℓ≤ 10.

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1. 1

   Si $u_n\to \ell$uₙ→ℓ, alors $u_{n+1}\to \ell$uₙ₊₁→ℓ aussi.

   Par continuité de la fonction racine, l'égalité $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$uₙ₊₁=√(uₙ+2) « passe à la limite » : $\ell =\sqrt{\ell +2}$ℓ=√(ℓ+2).

2. 2

   On élève au carré ($\ell \ge 0$ℓ≥ 0) : ${\ell }^2=\ell +2$ℓ²=ℓ+2, soit ${\ell }^2-\ell -2=0$ℓ²-ℓ-2=0.

3. 3

   $\Delta =1+8=9$Δ=1+8=9, $\ell =\frac{1\pm 3}{2}$ℓ=(1± 3)/2 : $\ell =2$ℓ=2 ou $\ell =-1$ℓ=-1.

   Comme $\ell \ge 0$ℓ≥ 0, on garde $\ell =2$ℓ=2.

Rappel de cours : La limite $\ell$ℓ d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$uₙ₊₁=f(uₙ) (avec $f$f continue) vérifie l'équation de point fixe $\ell =f(\ell )$ℓ=f(ℓ).

Erreur fréquente : On élimine la solution $\ell =-1$ℓ=-1 car les termes vérifient $u_n\ge 0$uₙ≥ 0 : la limite ne peut pas être négative.

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1. 1

   Forme $\infty -\infty$∞-∞.

   On multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$√(n+1)+ √n.

2. 2

   $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$√(n+1)- √n = ((n+1)-n)/(√(n+1)+ √n)=1/(√(n+1)+ √n).

3. 3

   Le dénominateur $\to +\infty$→+∞, donc le quotient $\to 0$→ 0.

Rappel de cours : Quantité conjuguée : $(\sqrt{a}-\sqrt{b})\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$( √a - √b )( √a + √b )/( √a + √b )=(a-b)/( √a + √b ). Élimine la différence de racines.

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1. 1

   Forme $\frac{\infty }{\infty }$∞/∞.

   On factorise par $n^2$n² : $\frac{n^2(1+\frac{1}{n^2})}{n^2(2-\frac{3}{n^2})}=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{3}{n^2}}$(n²(1+1/n²))/(n²(2-3/n²))=(1+1/n²)/(2-3/n²).

2. 2

   $\frac{1}{n^2}\to 0$1/n²→0 et $\frac{3}{n^2}\to 0$3/n²→0, donc la limite vaut $\frac{1}{2}$1/2.

Rappel de cours : Quotient de polynômes en $n$n : limite = quotient des termes dominants.

Correction détaillée

1. 1

   Si $u_n\to \ell$uₙ→ℓ, alors $u_{n+1}\to \ell$uₙ₊₁→ℓ aussi.

   En passant à la limite : $\ell =0,5\ell +2$ℓ=0,5 ℓ+2.

2. 2

   $\ell -0,5\ell =2$ℓ-0,5 ℓ=2, soit $0,5\ell =2$0,5 ℓ=2, donc $\ell =4$ℓ=4.

Rappel de cours : La limite d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$uₙ₊₁=f(uₙ) (f continue) vérifie $\ell =f(\ell )$ℓ=f(ℓ).

Correction détaillée

1. 1

   $0<0,5<1$0<0,5<1 donc $0,5^n\to 0$0,5ⁿ→0, d'où $u_n=2+3\times 0,5^n\to 2$uₙ=2+3×0,5ⁿ→2.

2. 2

   $u_{n+1}-u_n=3(0,5^{n+1}-0,5^n)=3\times 0,5^n(0,5-1)=-1,5\times 0,5^n<0$uₙ₊₁-uₙ=3(0,5ⁿ⁺¹-0,5ⁿ)=3×0,5ⁿ(0,5-1)=-1,5×0,5ⁿ<0 : $(u_n)$(uₙ) est strictement décroissante.

3. 3

   Pour tout réel, $-1\le \cos (n)\le 1$-1≤cos(n)≤1 ; en divisant par $n+1>0$n+1>0, $-\frac{1}{n+1}\le v_n\le \frac{1}{n+1}$-1/(n+1)≤ vₙ≤1/(n+1).

   Or $\pm \frac{1}{n+1}\to 0$±1/(n+1)→0 : par le théorème des gendarmes, $v_n\to 0$vₙ→0.

4. 4

   Par somme des limites, $w_n=u_n+v_n\to 2+0=2$wₙ=uₙ+vₙ→2+0=2.

5. 5

   $|u_n-2|=3\times 0,5^n<10^{-2}⟺0,5^n<\frac{1}{300}⟺n>\frac{\ln (1/300)}{\ln (0,5)}\approx 8,23$|uₙ-2|=3×0,5ⁿ<10⁻²⇔0,5ⁿ<1/300⇔ n>(ln(1/300))/ln(0,5)≈8,23.

   Le plus petit entier est $n=9$n=9.

Rappel de cours : $q^n\to 0$qⁿ→0 si $|q|<1$|q|<1 ; un terme borné divisé par $n+1$n+1 tend vers $0$0 par encadrement (gendarmes).

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1. 1

   1) $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}$1/k-1/(k+1)=((k+1)-k)/(k(k+1))=1/(k(k+1)).

2. 2

   2) $S_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$Sₙ=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/(n+1)).

   Les termes intermédiaires s'annulent deux à deux : $S_n=1-\frac{1}{n+1}$Sₙ=1-1/(n+1).

3. 3

   3) $\frac{1}{n+1}\to 0$1/(n+1)→ 0, donc $S_n\to 1$Sₙ→ 1.

Rappel de cours : Somme télescopique : chaque terme annule une partie du suivant, il ne reste que le premier et le dernier morceau.