Exercices corrigés : Suites numériques — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   $u_1=2u_0-3=2\times 5-3=7$u₁=2u₀-3=2× 5-3=7.

2. 2

   $u_2=2u_1-3=2\times 7-3=11$u₂=2u₁-3=2× 7-3=11.

3. 3

   $u_3=2u_2-3=2\times 11-3=19$u₃=2u₂-3=2× 11-3=19.

Rappel de cours : Pour une suite définie par récurrence, chaque terme se calcule à partir du précédent : on remplace $u_n$uₙ par sa valeur.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule $u_{n+1}-u_n=[3(n+1)+2]-[3n+2]=3n+3+2-3n-2=3$uₙ₊₁-uₙ = [3(n+1)+2]-[3n+2] = 3n+3+2-3n-2 = 3.

2. 2

   La différence entre deux termes consécutifs est constante, égale à $3$3 : la suite est arithmétique de raison $r=3$r=3.

Rappel de cours : Une suite est arithmétique si $u_{n+1}-u_n$uₙ₊₁-uₙ est constant : cette constante est la raison $r$r.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{4\times 2^{n+1}}{4\times 2^n}=2^{n+1-n}=2$uₙ₊₁/uₙ = (4× 2ⁿ⁺¹)/(4× 2ⁿ) = 2ⁿ⁺¹⁻ⁿ = 2.

2. 2

   Le rapport entre deux termes consécutifs est constant, égal à $2$2 : la suite est géométrique de raison $q=2$q=2.

Rappel de cours : Une suite est géométrique si $\frac{u_{n+1}}{u_n}$uₙ₊₁/uₙ est constant : cette constante est la raison $q$q.

Correction détaillée

1. 1

   $u_1=2^2-1=3$u₁=2²-1=3, $u_2=3^2-1=8$u₂=3²-1=8, $u_3=8^2-1=63$u₃=8²-1=63.

Rappel de cours : Une suite récurrente se calcule terme après terme : chaque terme dépend du précédent.

Correction détaillée

1. 1

   Formule explicite : $u_n=u_0+nr=7+n\times (-2)=7-2n$uₙ=u₀+nr = 7+n×(-2)=7-2n.

2. 2

   $u_{20}=7-2\times 20=7-40=-33$u₂₀=7-2× 20=7-40=-33.

Rappel de cours : Suite arithmétique : $u_n=u_0+nr$uₙ=u₀+nr (ou $u_n=u_p+(n-p)r$uₙ=uₚ+(n-p)r).

Correction détaillée

1. 1

   Formule explicite : $u_n=u_0\times q^n=3\times 2^n$uₙ=u₀× qⁿ=3× 2ⁿ.

2. 2

   $u_5=3\times 2^5=3\times 32=96$u₅=3× 2⁵=3× 32=96.

Rappel de cours : Suite géométrique : $u_n=u_0\times q^n$uₙ=u₀× qⁿ (ou $u_n=u_p\times q^{n-p}$uₙ=uₚ× q^(n-p)).

Correction détaillée

1. 1

   Entre les rangs $3$3 et $7$7, on ajoute $4$4 fois la raison : $u_7=u_3+4r$u₇=u₃+4r, soit $22=10+4r$22=10+4r.

2. 2

   $4r=12$4r=12, donc $r=3$r=3.

3. 3

   $u_3=u_0+3r$u₃=u₀+3r donne $10=u_0+9$10=u₀+9, donc $u_0=1$u₀=1.

Rappel de cours : $u_n=u_p+(n-p)r$uₙ=uₚ+(n-p)r : la différence d'indices multiplie la raison. Ici $u_7-u_3=4r$u₇-u₃=4r.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule $u_{n+1}-u_n=[(n+1{)}^2-4(n+1)]-[n^2-4n]$uₙ₊₁-uₙ = [(n+1)²-4(n+1)]-[n²-4n].

2. 2

   $=n^2+2n+1-4n-4-n^2+4n=2n-3$= n²+2n+1-4n-4-n²+4n = 2n-3.

3. 3

   $2n-3\ge 0⟺n\ge 1,5$2n-3≥ 0 ⇔ n≥ 1,5, donc pour $n\ge 2$n≥ 2, $u_{n+1}\ge u_n$uₙ₊₁≥ uₙ : la suite est croissante à partir du rang $2$2 (et $u_0=0$u₀=0, $u_1=-3$u₁=-3, $u_2=-4$u₂=-4 : elle décroît puis croît).

Rappel de cours : Sens de variation : on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$uₙ₊₁-uₙ. Positif = croissante, négatif = décroissante.

Correction détaillée

1. 1

   $u_{n+1}-u_n=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n(n+1)-(n-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}$uₙ₊₁-uₙ=n/(n+2)-(n-1)/(n+1)=(n(n+1)-(n-1)(n+2))/((n+1)(n+2)).

2. 2

   Numérateur : $n^2+n-(n^2+n-2)=2$n²+n-(n²+n-2)=2.

   Donc $u_{n+1}-u_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0$uₙ₊₁-uₙ=2/((n+1)(n+2))>0.

Rappel de cours : On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$uₙ₊₁-uₙ, en réduisant au même dénominateur.

Correction détaillée

1. 1

   C'est la somme des $100$100 premiers entiers, termes d'une suite arithmétique.

2. 2

   Formule : somme $=$= (nombre de termes) $\times \frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$×(premier + dernier)/2.

3. 3

   $S=100\times \frac{1+100}{2}=100\times \frac{101}{2}=50\times 101=5050$S = 100×(1+100)/2=100×101/2=50× 101=5050.

Rappel de cours : Somme arithmétique : $\text{(nb termes)}\times \frac{\text{1er}+\text{dernier}}{2}$(nb termes) ×(1er + dernier)/2.

Correction détaillée

1. 1

   Somme géométrique de raison $q=2$q=2, de $11$11 termes (de $2^0$2⁰ à $2^{10}$2¹⁰).

2. 2

   Formule (avec $n$n le nombre de termes) : $S=(\text{1er terme})\times \frac{1-q^n}{1-q}=1\times \frac{1-2^{11}}{1-2}$S=( 1er terme )×(1-qⁿ)/(1-q)=1×(1-2¹¹)/(1-2).

3. 3

   $=\frac{1-2048}{-1}=\frac{-2047}{-1}=2047$=(1-2048)/(-1)=(-2047)/(-1)=2047.

Rappel de cours : Somme géométrique ($q\ne 1$q≠ 1) : $\text{1er terme}\times \frac{1-q^n}{1-q}$1er terme ×(1-qⁿ)/(1-q) où $n$n est le nombre de termes.

Correction détaillée

1. 1

   Augmenter de $3\%$3% revient à multiplier par $1,03$1,03 : $C_{n+1}=1,03\times C_n$Cₙ₊₁=1,03× Cₙ.

2. 2

   $(C_n)$(Cₙ) est géométrique de raison $1,03$1,03 et premier terme $C_0=2000$C₀=2000.

3. 3

   Donc $C_n=2000\times 1,03^n$Cₙ=2000× 1,03ⁿ.

Rappel de cours : Une évolution de $+t\%$+t% chaque période donne une suite géométrique de raison $1+\frac{t}{100}$1+t/100.

Correction détaillée

1. 1

   $f^{\prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=(1-x)e^{-x}$f'(x)=e^(-x)-xe^(-x)=(1-x)e^(-x), négative sur $[1;+\infty [$[1 ;+∞[ : $f$f y est décroissante.

2. 2

   Comme $u_n=f(n)$uₙ=f(n), on a $u_{n+1}=f(n+1)\le f(n)=u_n$uₙ₊₁=f(n+1)≤ f(n)=uₙ pour $n\ge 1$n≥ 1.

Rappel de cours : Si $u_n=f(n)$uₙ=f(n) avec $f$f monotone sur $[p;+\infty [$[p ;+∞[, la suite a le même sens de variation à partir du rang $p$p.

Erreur fréquente : Cette méthode ne marche pas pour une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$uₙ₊₁=f(uₙ).

Correction détaillée

1. 1

   $v_{n+1}=u_{n+1}-6=0,5u_n+3-6=0,5u_n-3$vₙ₊₁=uₙ₊₁-6 = 0,5 uₙ+3-6 = 0,5 uₙ-3.

2. 2

   On factorise par $0,5$0,5 : $v_{n+1}=0,5(u_n-6)=0,5v_n$vₙ₊₁=0,5(uₙ-6)=0,5 vₙ.

3. 3

   Donc $(v_n)$(vₙ) est géométrique de raison $q=0,5$q=0,5, de premier terme $v_0=u_0-6=-5$v₀=u₀-6=-5.

Rappel de cours : Le point fixe de $u_{n+1}=a{u}_n+b$uₙ₊₁=auₙ+b est $\ell =\frac{b}{1-a}$ℓ=b/(1-a) (ici $6$6) ; poser $v_n=u_n-\ell$vₙ=uₙ-ℓ rend $(v_n)$(vₙ) géométrique de raison $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $v_n=u_n-6$vₙ=uₙ-6, donc $u_n=v_n+6=-5\times 0,5^n+6$uₙ=vₙ+6=-5× 0,5ⁿ+6.

2. 2

   Comme $0<0,5<1$0<0,5<1, $0,5^n\to 0$0,5ⁿ→ 0 quand $n\to +\infty$n→+∞.

3. 3

   Donc $u_n\to -5\times 0+6=6$uₙ→ -5× 0+6=6.

Rappel de cours : Pour $-1<q<1$-1<q<1, $q^n\to 0$qⁿ→ 0. La limite d'une suite arithmético-géométrique est son point fixe $\ell$ℓ.

Correction détaillée

1. 1

   $u_n=100\times 0,8^n$uₙ=100× 0,8ⁿ.

   On résout $100\times 0,8^n<10$100× 0,8ⁿ<10, soit $0,8^n<0,1$0,8ⁿ<0,1.

2. 2

   On applique $\ln$ln : $n\ln (0,8)<\ln (0,1)$nln(0,8)<ln(0,1).

   Comme $\ln (0,8)<0$ln(0,8)<0, on divise en changeant le sens : $n>\frac{\ln (0,1)}{\ln (0,8)}$n>ln(0,1)/ln(0,8).

3. 3

   $\frac{\ln (0,1)}{\ln (0,8)}\approx \frac{-2,303}{-0,223}\approx 10,3$ln(0,1)/ln(0,8)≈(-2,303)/(-0,223)≈ 10,3, donc le plus petit entier est $n=11$n=11.

Rappel de cours : Seuil $q^n<a$qⁿ<a avec $0<q<1$0<q<1 : passer au $\ln$ln et diviser par $\ln (q)<0$ln(q)<0 inverse l'inégalité.

Erreur fréquente : Ne pas oublier d'inverser le sens en divisant par $\ln (0,8)<0$ln(0,8)<0. Et arrondir à l'entier supérieur car on veut $u_n<10$uₙ<10.

Correction détaillée

1. 1

   $S_n=u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}=1\times \frac{1-(1/2{)}^{n+1}}{1-1/2}=\frac{1-(1/2{)}^{n+1}}{1/2}=2\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\right)$Sₙ = u₀×(1-qⁿ⁺¹)/(1-q) = 1×(1-(1/2)ⁿ⁺¹)/(1-1/2) = (1-(1/2)ⁿ⁺¹)/(1/2) = 2 (1-(1/2)ⁿ⁺¹).

2. 2

   Quand $n\to +\infty$n→+∞, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\to 0$(1/2)ⁿ⁺¹→ 0 (car $0<\frac{1}{2}<1$0<1/2<1).

3. 3

   Donc $S_n\to 2(1-0)=2$Sₙ→ 2(1-0)=2.

Rappel de cours : Attention au nombre de termes : de $u_0$u₀ à $u_n$uₙ il y en a $n+1$n+1, d'où l'exposant $n+1$n+1 dans la formule de la somme.

Correction détaillée

1. 1

   Il y a $21$21 termes (de $u_0$u₀ à $u_{20}$u₂₀).

   $u_{20}=2+3\times 20=62$u₂₀=2+3× 20=62.

2. 2

   $S=21\times \frac{u_0+u_{20}}{2}=21\times \frac{2+62}{2}=21\times 32=672$S=21×(u₀+u₂₀)/2=21×(2+62)/2=21× 32=672.

Rappel de cours : Somme arithmétique : (nb termes)$\times \frac{\text{1er}+\text{dernier}}{2}$×(1er + dernier)/2 ; de $u_0$u₀ à $u_{20}$u₂₀ il y a $21$21 termes.

Correction détaillée

1. 1

   $u_1=\frac{1}{3}\times 1+2=\frac{7}{3}$u₁=1/3×1+2=7/3 ; $u_2=\frac{1}{3}\times \frac{7}{3}+2=\frac{7}{9}+2=\frac{25}{9}$u₂=1/3×7/3+2=7/9+2=25/9.

2. 2

   $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\frac{1}{3}{u}_n+2-3=\frac{1}{3}{u}_n-1=\frac{1}{3}(u_n-3)=\frac{1}{3}{v}_n$vₙ₊₁=uₙ₊₁-3=1/3uₙ+2-3=1/3uₙ-1=1/3(uₙ-3)=1/3 vₙ.

   Donc $(v_n)$(vₙ) est géométrique de raison $\frac{1}{3}$1/3, avec $v_0=u_0-3=-2$v₀=u₀-3=-2.

3. 3

   $v_n=v_0\times (\frac{1}{3}{)}^n=-2(\frac{1}{3}{)}^n$vₙ=v₀×(1/3)ⁿ=-2(1/3)ⁿ, donc $u_n=v_n+3=3-2(\frac{1}{3}{)}^n$uₙ=vₙ+3=3-2(1/3)ⁿ.

4. 4

   Comme $0<\frac{1}{3}<1$0<1/3<1, $(\frac{1}{3}{)}^n\to 0$(1/3)ⁿ→0, donc $u_n\to 3$uₙ→3.

   De plus $(\frac{1}{3}{)}^n$(1/3)ⁿ décroît, donc $-2(\frac{1}{3}{)}^n$-2(1/3)ⁿ croît : $(u_n)$(uₙ) est croissante (vers $3$3 par valeurs inférieures).

5. 5

   $S_n={\sum }_{k=0}^n(3-2(\frac{1}{3}{)}^k)=3(n+1)-2\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}=3(n+1)-3(1-\left(\frac{1}{3}{)}^{n+1}\right)$Sₙ=Σ_k=0ⁿ(3-2(1/3)^(k))=3(n+1)-2·(1-(1/3)ⁿ⁺¹)/(1-1/3)=3(n+1)-3(1-(1/3)ⁿ⁺¹).

6. 6

   $3-u_n=2(\frac{1}{3}{)}^n<10^{-3}⟺(\frac{1}{3}{)}^n<5\cdot 10^{-4}⟺n>\frac{\ln (5\cdot 10^{-4})}{\ln (1/3)}\approx 6,9$3-uₙ=2(1/3)ⁿ<10⁻³⇔(1/3)ⁿ<5·10⁻⁴⇔ n>ln(5·10⁻⁴)/(ln(1/3))≈6,9.

   Le plus petit entier est $n=7$n=7.

Rappel de cours : Poser $v_n=u_n-\ell$vₙ=uₙ-ℓ ($\ell$ℓ point fixe) rend la suite géométrique ; la somme d'une géométrique est $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$(1-q^(n+1))/(1-q).

Correction détaillée

1. 1

   1) $v_{n+1}=1,1u_n-300-3000=1,1u_n-3300=1,1(u_n-3000)=1,1v_n$vₙ₊₁=1,1uₙ-300-3 000=1,1uₙ-3 300=1,1(uₙ-3 000)=1,1vₙ.

   Géométrique de raison $1,1$1,1, avec $v_0=-1000$v₀=-1 000.

2. 2

   2) $v_n=-1000\times 1,1^n$vₙ=-1 000× 1,1ⁿ, donc $u_n=3000-1000\times 1,1^n$uₙ=3 000-1 000× 1,1ⁿ.

3. 3

   3) $u_n\le 0⟺1,1^n\ge 3⟺n\ln 1,1\ge \ln 3⟺n\ge \frac{\ln 3}{\ln 1,1}\approx 11,5$uₙ≤ 0⇔ 1,1ⁿ≥ 3⇔ nln 1,1≥ln 3⇔ n≥ln3/ln1,1≈ 11,5.

4. 4

   Le lac est vidé au cours de la $12^{\text{e}}$12ᵉ année. (La pêche de $300$300 poissons dépasse l'accroissement naturel tant que la population est sous $3000$3 000.)

Rappel de cours : Pour $u_{n+1}=a{u}_n+b$uₙ₊₁=auₙ+b, on étudie $v_n=u_n-\ell$vₙ=uₙ-ℓ avec $\ell =a\ell +b$ℓ=aℓ+b (ici $\ell =3000$ℓ=3 000).