Exercices types · Terminale spé maths

La limite d'une suite — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Limite d'une suite de référence

Niveau 1 · Application directe

Déterminer

lim_{n \to + \infty} u_{n}

lim_n→+∞ uₙ pour

u_{n} = 2 + \frac{1}{n}

uₙ = 2 + 1/n.

Voir la correction

1.
On sait que $\frac{1}{n} \to 0$ 1/n → 0 quand $n \to + \infty$ n → +∞.
→ Limites des suites de référence
2.
Donc $u_{n} = 2 + \frac{1}{n} \to 2 + 0 = 2$ uₙ = 2 + 1/n → 2 + 0 = 2.

Réponse :

lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2

lim_n→+∞ uₙ = 2 : la suite converge vers

2

Méthode utilisée : $\frac{1}{n} \to 0$ 1/n→ 0, donc $u_{n} \to 2$ uₙ→ 2.

Limite d'un quotient

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la limite de

u_{n} = \frac{3 n + 1}{n}

uₙ = (3n + 1)/n.

Voir la correction

1.
On transforme : $u_{n} = \frac{3 n}{n} + \frac{1}{n} = 3 + \frac{1}{n}$ uₙ = 3n/n + 1/n = 3 + 1/n.
2.
$\frac{1}{n} \to 0$ 1/n → 0, donc $u_{n} \to 3$ uₙ → 3.
→ Limites des suites de référence

Réponse :

lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3

lim_n→+∞ uₙ = 3.

Méthode utilisée : On simplifie : $\frac{3 n + 1}{n} = 3 + \frac{1}{n} \to 3$ (3n+1)/n=3+1/n→ 3.

Erreur fréquente : Conclure $+ \infty$ +∞ pour un quotient de même degré.

Limite d'une suite géométrique

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la limite de

u_{n} = 3 \times 0, 5^{n}

uₙ = 3 × 0,5ⁿ.

Voir la correction

1.
La raison est $q = 0, 5$ q = 0,5, comprise entre $- 1$ -1 et $1$ 1, donc $0, 5^{n} \to 0$ 0,5ⁿ → 0.
→ Limite d'une suite géométrique qⁿ
2.
Donc $u_{n} = 3 \times 0, 5^{n} \to 3 \times 0 = 0$ uₙ = 3× 0,5ⁿ → 3× 0 = 0.

Réponse :

lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0

lim_n→+∞ uₙ = 0.

Méthode utilisée : $q^{n} \to 0$ qⁿ→ 0 lorsque $∣ q ∣ < 1$ |q|<1.

Erreur fréquente : Croire que $0, 5^{n} \to 0, 5$ 0,5ⁿ→ 0,5.

Limite infinie

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la limite de

u_{n} = 2^{n} + 5

uₙ = 2ⁿ + 5.

Voir la correction

1.
La raison $q = 2$ q = 2 est strictement supérieure à $1$ 1, donc $2^{n} \to + \infty$ 2ⁿ → +∞.
→ Limite d'une suite géométrique qⁿ
2.
En ajoutant $5$ 5 (constante), la limite reste $+ \infty$ +∞ : $u_{n} \to + \infty$ uₙ → +∞.

Réponse :

lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty

lim_n→+∞ uₙ = +∞ : la suite diverge.

Limite de 1/n²

Niveau 1 · Application directe

Déterminer

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n ^{2}}

lim_n→+∞1/n².

Voir la correction

1.
$n^{2}$ n² devient très grand, donc son inverse tend vers $0$ 0.
→ Limites des suites de référence

Réponse :

0

Limite d'un quotient

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la limite de

u_{n} = \frac{5 n - 1}{n}

uₙ = (5n - 1)/n.

Voir la correction

1.
On sépare : $\frac{5 n - 1}{n} = 5 - \frac{1}{n}$ (5n - 1)/n = 5 - 1/n.
→ Opérations sur les limites
2.
$\frac{1}{n} \to 0$ 1/n → 0, donc $u_{n} \to 5$ uₙ → 5.

Réponse :

5

Suite géométrique vers 0

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la limite de

u_{n} = 0, 8^{n}

uₙ = 0,8ⁿ.

Voir la correction

1.
La raison $0, 8$ 0,8 est comprise entre $- 1$ -1 et $1$ 1.
→ Limite d'une suite géométrique qⁿ
2.
Donc $0, 8^{n} \to 0$ 0,8ⁿ → 0.

Réponse :

0

Suite géométrique vers +∞

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la limite de

u_{n} = 3^{n}

uₙ = 3ⁿ.

Voir la correction

1.
La raison $3$ 3 est strictement supérieure à $1$ 1.
→ Limite d'une suite géométrique qⁿ
2.
Donc $3^{n} \to + \infty$ 3ⁿ → +∞.

Réponse :

+ \infty

+∞.

Quotient de degré 2

Niveau 3 · Type contrôle

Déterminer la limite de

u_{n} = \frac{n ^{2} + 1}{n ^{2}}

uₙ = (n² + 1)/n².

Voir la correction

1.
$\frac{n ^{2} + 1}{n ^{2}} = 1 + \frac{1}{n ^{2}}$ (n² + 1)/n² = 1 + 1/n².
→ Opérations sur les limites
2.
$\frac{1}{n ^{2}} \to 0$ 1/n² → 0, donc $u_{n} \to 1$ uₙ → 1.

Réponse :

1

Problème : dose de médicament

Niveau 3 · Type contrôle

La dose de médicament (en mg) dans le sang suit

u_{n} = 10 \times 0, 5^{n}

uₙ = 10× 0,5ⁿ après

n

n heures. Vers quelle valeur tend la dose à long terme ?

Voir la correction

1.
La raison $0, 5$ 0,5 est entre $- 1$ -1 et $1$ 1, donc $0, 5^{n} \to 0$ 0,5ⁿ → 0.
→ Limite d'une suite géométrique qⁿ
2.
$u_{n} = 10 \times 0, 5^{n} \to 10 \times 0 = 0$ uₙ = 10× 0,5ⁿ → 10× 0 = 0 : le médicament est totalement éliminé.

Réponse :

lim u_{n} = 0

lim uₙ = 0 (élimination complète).

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