Exercices corrigés : Raisonnement par récurrence — Terminale spécialité

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=1$n=1) : à gauche $1$1, à droite $\frac{1\times 2}{2}=1$(1× 2)/2=1.

   La propriété est vraie au rang $1$1.

2. 2

   Hérédité : supposons $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$1+2+…+n = (n(n+1))/2 pour un certain $n\ge 1$n≥ 1 (hypothèse de récurrence).

3. 3

   Alors $1+2+\cdots +n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=(n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$1+2+…+n+(n+1) = (n(n+1))/2+(n+1) = (n+1) (n/2+1) = ((n+1)(n+2))/2.

4. 4

   C'est la formule au rang $n+1$n+1.

   La propriété est héréditaire.

5. 5

   Conclusion : par récurrence, l'égalité est vraie pour tout $n\ge 1$n≥ 1.

Rappel de cours : Une récurrence se rédige toujours en 3 temps : initialisation, hérédité (en repartant de l'hypothèse au rang $n$n), conclusion.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=1$n=1) : à gauche $1$1, à droite $1^2=1$1²=1.

   Vrai au rang $1$1.

2. 2

   Hérédité : supposons $1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$1+3+…+(2n-1)=n².

   Le terme suivant est $2(n+1)-1=2n+1$2(n+1)-1 = 2n+1.

3. 3

   Donc la somme jusqu'au rang $n+1$n+1 vaut $n^2+(2n+1)=(n+1{)}^2$n²+(2n+1) = (n+1)².

4. 4

   Conclusion : par récurrence, l'égalité est vraie pour tout $n\ge 1$n≥ 1.

Rappel de cours : Le $(n+1)$(n+1)-ième nombre impair est $2(n+1)-1=2n+1$2(n+1)-1 = 2n+1 : on l'ajoute à l'hypothèse de récurrence.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=0$n=0) : $2^0=1$2⁰=1 et $0+1=1$0+1=1, donc $2^0\ge 0+1$2⁰≥ 0+1.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons $2^n\ge n+1$2ⁿ≥ n+1.

   Alors $2^{n+1}=2\times 2^n\ge 2(n+1)=2n+2$2ⁿ⁺¹=2× 2ⁿ ≥ 2(n+1) = 2n+2.

3. 3

   Or $2n+2\ge n+2=(n+1)+1$2n+2 ≥ n+2 = (n+1)+1 car $2n+2-(n+2)=n\ge 0$2n+2-(n+2)=n≥ 0.

   Donc $2^{n+1}\ge (n+1)+1$2ⁿ⁺¹≥ (n+1)+1.

4. 4

   Conclusion : par récurrence, $2^n\ge n+1$2ⁿ≥ n+1 pour tout $n\ge 0$n≥ 0.

Rappel de cours : Pour une inégalité, on part de l'hypothèse, on multiplie/ajoute, puis on majore ou minore pour retomber sur le rang $n+1$n+1.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=1$n=1) : à gauche $1$1, à droite $\frac{1\times 2\times 3}{6}=1$(1× 2× 3)/6=1.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : on suppose la formule au rang $n$n.

   On ajoute $(n+1{)}^2$(n+1)² :

3. 3

   $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1{)}^2=\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}$(n(n+1)(2n+1))/6+(n+1)² = ((n+1)[n(2n+1)+6(n+1)])/6 = ((n+1)(2n²+7n+6))/6.

4. 4

   Or $2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$2n²+7n+6 = (n+2)(2n+3), donc on obtient $\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$((n+1)(n+2)(2n+3))/6, qui est bien la formule au rang $n+1$n+1.

5. 5

   Conclusion : la formule est vraie pour tout $n\ge 1$n≥ 1.

Rappel de cours : On met $(n+1)$(n+1) en facteur, puis on factorise le crochet (ici $2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$2n²+7n+6=(n+2)(2n+3)) pour reconnaître la forme attendue.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=0$n=0) : $4^0-1=0$4⁰-1 = 0, divisible par $3$3.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons $4^n-1$4ⁿ-1 divisible par $3$3, c'est-à-dire $4^n-1=3k$4ⁿ-1 = 3k avec $k$k entier.

3. 3

   Alors $4^{n+1}-1=4\times 4^n-1=4(4^n-1)+3=4\times 3k+3=3(4k+1)$4ⁿ⁺¹-1 = 4× 4ⁿ - 1 = 4(4ⁿ-1)+3 = 4× 3k + 3 = 3(4k+1).

4. 4

   C'est un multiple de $3$3 : la propriété est héréditaire.

5. 5

   Conclusion : $4^n-1$4ⁿ-1 est divisible par $3$3 pour tout $n\ge 0$n≥ 0.

Rappel de cours : Astuce divisibilité : écrire $a^{n+1}=a\cdot a^n$aⁿ⁺¹ = a· aⁿ, faire apparaître $a^n-1$aⁿ-1 (l'hypothèse) et regrouper le reste en multiple du diviseur.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=0$n=0) : à gauche $2^0=1$2⁰=1, à droite $2^1-1=1$2¹-1=1.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons la somme égale à $2^{n+1}-1$2ⁿ⁺¹-1.

   On ajoute $2^{n+1}$2ⁿ⁺¹ :

3. 3

   $2^{n+1}-1+2^{n+1}=2\times 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1$2ⁿ⁺¹-1+2ⁿ⁺¹ = 2× 2ⁿ⁺¹-1 = 2ⁿ⁺²-1, qui est la formule au rang $n+1$n+1.

4. 4

   Conclusion : l'égalité est vraie pour tout $n\ge 0$n≥ 0.

Rappel de cours : $2\times 2^{n+1}=2^{n+2}$2× 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺² : pour une puissance, multiplier par la base augmente l'exposant de $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=0$n=0) : $u_0=2$u₀=2 et $2^0+1=2$2⁰+1 = 2.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons $u_n=2^n+1$uₙ = 2ⁿ+1.

   Alors $u_{n+1}=2u_n-1=2(2^n+1)-1$uₙ₊₁=2uₙ-1 = 2(2ⁿ+1)-1.

3. 3

   $=2^{n+1}+2-1=2^{n+1}+1$= 2ⁿ⁺¹+2-1 = 2ⁿ⁺¹+1, qui est la formule au rang $n+1$n+1.

4. 4

   Conclusion : $u_n=2^n+1$uₙ = 2ⁿ+1 pour tout $n\ge 0$n≥ 0.

Rappel de cours : Pour prouver une formule explicite $u_n=\dots$uₙ=…, on remplace $u_n$uₙ par son expression dans la relation $u_{n+1}=f(u_n)$uₙ₊₁=f(uₙ).

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=0$n=0) : $u_0=1\le 6$u₀=1≤ 6.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons $u_n\le 6$uₙ≤ 6.

   On multiplie par $\frac{1}{2}>0$1/2>0 (sens conservé) : $\frac{1}{2}{u}_n\le 3$1/2 uₙ ≤ 3.

3. 3

   On ajoute $3$3 : $\frac{1}{2}{u}_n+3\le 6$1/2 uₙ + 3 ≤ 6, c'est-à-dire $u_{n+1}\le 6$uₙ₊₁≤ 6.

4. 4

   Conclusion : par récurrence, $u_n\le 6$uₙ≤ 6 pour tout $n\ge 0$n≥ 0.

Rappel de cours : Encadrer $u_{n+1}$uₙ₊₁ : appliquer à l'hypothèse les mêmes opérations que la relation de récurrence, en surveillant le sens des inégalités.

Erreur fréquente : Multiplier par $\frac{1}{2}>0$1/2>0 conserve le sens de l'inégalité. Il n'y aurait inversion que par un facteur négatif.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=0$n=0) : $u_1=\frac{1}{2}\times 1+3=3,5$u₁=1/2× 1+3 = 3,5, donc $u_0=1\le u_1=3,5$u₀=1≤ u₁=3,5.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons $u_n\le u_{n+1}$uₙ≤ uₙ₊₁.

   On multiplie par $\frac{1}{2}>0$1/2>0 puis on ajoute $3$3 :

3. 3

   $\frac{1}{2}{u}_n+3\le \frac{1}{2}{u}_{n+1}+3$1/2 uₙ+3 ≤ 1/2 uₙ₊₁+3, c'est-à-dire $u_{n+1}\le u_{n+2}$uₙ₊₁≤ uₙ₊₂.

4. 4

   Conclusion : par récurrence, $u_n\le u_{n+1}$uₙ≤ uₙ₊₁ pour tout $n$n : la suite est croissante.

Rappel de cours : Pour la monotonie d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$uₙ₊₁=f(uₙ) avec $f$f croissante, la récurrence « propage » l'inégalité $u_n\le u_{n+1}$uₙ≤ uₙ₊₁.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=4$n=4) : $2^4=16$2⁴=16 et $4^2=16$4²=16, donc $2^4\ge 4^2$2⁴≥ 4².

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : soit $n\ge 4$n≥ 4 tel que $2^n\ge n^2$2ⁿ≥ n².

   Alors $2^{n+1}=2\times 2^n\ge 2n^2$2ⁿ⁺¹=2× 2ⁿ≥ 2n².

3. 3

   Il reste à montrer $2n^2\ge (n+1{)}^2$2n²≥ (n+1)², soit $2n^2\ge n^2+2n+1$2n²≥ n²+2n+1, c'est-à-dire $n^2-2n-1\ge 0$n²-2n-1≥ 0.

4. 4

   Pour $n\ge 4$n≥ 4 : $n^2-2n-1=n(n-2)-1\ge 4\times 2-1=7>0$n²-2n-1 = n(n-2)-1 ≥ 4× 2 - 1 = 7 > 0.

   Donc $2^{n+1}\ge (n+1{)}^2$2ⁿ⁺¹≥ (n+1)².

5. 5

   Conclusion : par récurrence, $2^n\ge n^2$2ⁿ≥ n² pour tout $n\ge 4$n≥ 4.

Erreur fréquente : L'initialisation se fait au rang $4$4 (pas $0$0) : la propriété est fausse pour $n=3$n=3 ($8<9$8<9). Toujours vérifier le bon rang de départ.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=0$n=0) : $7^0-1=0$7⁰-1 = 0, divisible par $6$6.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons $7^n-1=6k$7ⁿ-1 = 6k ($k$k entier).

3. 3

   $7^{n+1}-1=7\times 7^n-1=7(7^n-1)+6=7\times 6k+6=6(7k+1)$7ⁿ⁺¹-1 = 7× 7ⁿ-1 = 7(7ⁿ-1)+6 = 7× 6k+6 = 6(7k+1), multiple de $6$6.

4. 4

   Conclusion : $7^n-1$7ⁿ-1 est divisible par $6$6 pour tout $n\ge 0$n≥ 0.

Rappel de cours : Même technique que pour $4^n-1$4ⁿ-1 : $7^{n+1}-1=7(7^n-1)+6$7ⁿ⁺¹-1 = 7(7ⁿ-1)+6 fait apparaître l'hypothèse plus un multiple du diviseur.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=0$n=0) : $(1+a{)}^0=1$(1+a)⁰=1 et $1+0\times a=1$1+0× a = 1.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons $(1+a{)}^n\ge 1+na$(1+a)ⁿ≥ 1+na.

   Comme $1+a>0$1+a>0, on multiplie sans changer le sens :

3. 3

   $(1+a{)}^{n+1}=(1+a)(1+a{)}^n\ge (1+a)(1+na)=1+na+a+n{a}^2=1+(n+1)a+n{a}^2$(1+a)ⁿ⁺¹ = (1+a)(1+a)ⁿ ≥ (1+a)(1+na) = 1+na+a+na² = 1+(n+1)a+na².

4. 4

   Or $n{a}^2\ge 0$na²≥ 0, donc $(1+a{)}^{n+1}\ge 1+(n+1)a$(1+a)ⁿ⁺¹≥ 1+(n+1)a.

5. 5

   Conclusion : $(1+a{)}^n\ge 1+na$(1+a)ⁿ≥ 1+na pour tout $n\ge 0$n≥ 0.

Rappel de cours : On développe le produit puis on « jette » le terme positif $n{a}^2$na² pour minorer. Minorer = remplacer par plus petit.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation ($n=0$n=0) : $u_0=0$u₀=0, donc $0\le u_0\le 2$0≤ u₀≤ 2.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons $0\le u_n\le 2$0≤ uₙ≤ 2.

   En ajoutant $2$2 : $2\le u_n+2\le 4$2≤ uₙ+2≤ 4.

3. 3

   La fonction racine étant croissante : $\sqrt{2}\le \sqrt{u_n+2}\le \sqrt{4}=2$√2 ≤ √(uₙ+2)≤ √4 = 2.

   Comme $\sqrt{2}\ge 0$√2 ≥ 0, on a $0\le u_{n+1}\le 2$0≤ uₙ₊₁≤ 2.

4. 4

   Conclusion : par récurrence, $0\le u_n\le 2$0≤ uₙ≤ 2 pour tout $n\ge 0$n≥ 0.

Rappel de cours : Avec une racine, on encadre l'expression sous la racine puis on applique ​√() (croissante) : l'encadrement se conserve.

Correction détaillée

1. 1

   Initialisation : $u_1=\sqrt{0+2}=\sqrt{2}\approx 1,41$u₁=√(0+2)= √2 ≈ 1,41, donc $u_0=0\le u_1$u₀=0≤ u₁.

   Vrai.

2. 2

   Hérédité : supposons $u_n\le u_{n+1}$uₙ≤ uₙ₊₁.

   En ajoutant $2$2 puis en prenant la racine (croissante) : $\sqrt{u_n+2}\le \sqrt{u_{n+1}+2}$√(uₙ+2)≤ √(uₙ₊₁+2), soit $u_{n+1}\le u_{n+2}$uₙ₊₁≤ uₙ₊₂.

3. 3

   Donc $(u_n)$(uₙ) est croissante.

   De plus elle est majorée par $2$2.

4. 4

   Conclusion : une suite croissante et majorée converge (théorème de la limite monotone).

   $(u_n)$(uₙ) converge (sa limite est $2$2).

Rappel de cours : Théorème clé : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Correction détaillée

1. 1

   $u_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$u₁=1/(1+1)=1/2 ; $u_2=\frac{1/2}{1+1/2}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$u₂=(1/2)/(1+1/2)=(1/2)/(3/2)=1/3 ; $u_3=\frac{1/3}{4/3}=\frac{1}{4}$u₃=(1/3)/(4/3)=1/4.

2. 2

   Conjecture : $u_n=\frac{1}{n+1}$uₙ = 1/(n+1).

3. 3

   Initialisation ($n=0$n=0) : $\frac{1}{0+1}=1=u_0$1/(0+1)=1 = u₀.

   Vrai.

4. 4

   Hérédité : supposons $u_n=\frac{1}{n+1}$uₙ=1/(n+1).

   Alors $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}=\frac{\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{n+2}{n+1}}=\frac{1}{n+2}$uₙ₊₁=uₙ/(1+uₙ) = (1/(n+1))/(1+1/(n+1)) = (1/(n+1))/((n+2)/(n+1)) = 1/(n+2).

5. 5

   C'est $\frac{1}{(n+1)+1}$1/((n+1)+1) : la conjecture est héréditaire.

   Conclusion : $u_n=\frac{1}{n+1}$uₙ=1/(n+1) pour tout $n\ge 0$n≥ 0.

Rappel de cours : Méthode type bac : calculer les premiers termes, conjecturer la formule, puis la prouver par récurrence.

Correction détaillée

1. 1

   Notons $P(n):1+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$P(n): 1+…+n=(n(n+1))/2.

   Initialisation : pour $n=1$n=1, le membre de gauche vaut $1$1 et celui de droite $\frac{1\times 2}{2}=1$1×2/2=1 : $P(1)$P(1) est vraie.

   Hérédité : si $P(n)$P(n) est vraie, alors $1+\cdots +n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=(n+1)(\frac{n}{2}+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$1+…+n+(n+1)=(n(n+1))/2+(n+1)=(n+1)(n/2+1)=((n+1)(n+2))/2 : c'est $P(n+1)$P(n+1).

   Donc $P(n)$P(n) est vraie pour tout $n\ge 1$n≥1.

2. 2

   Initialisation : $4^0-1=0=3\times 0$4⁰-1=0=3×0, divisible par $3$3.

   Hérédité : supposons $4^n-1=3k$4ⁿ-1=3k ($k$k entier).

   Alors $4^{n+1}-1=4\times 4^n-1=4(3k+1)-1=12k+3=3(4k+1)$4ⁿ⁺¹-1=4×4ⁿ-1=4(3k+1)-1=12k+3=3(4k+1), multiple de $3$3.

   La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n\ge 0$n≥0.

3. 3

   Initialisation : $u_0=1$u₀=1 et $2^{0+1}-1=2-1=1$2⁰⁺¹-1=2-1=1 : vrai au rang $0$0.

   Hérédité : si $u_n=2^{n+1}-1$uₙ=2ⁿ⁺¹-1, alors $u_{n+1}=2u_n+1=2(2^{n+1}-1)+1=2^{n+2}-2+1=2^{n+2}-1=2^{(n+1)+1}-1$uₙ₊₁=2uₙ+1=2(2ⁿ⁺¹-1)+1=2ⁿ⁺²-2+1=2ⁿ⁺²-1=2⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹-1 : la formule est vraie au rang $n+1$n+1.

   Donc pour tout $n$n, $u_n=2^{n+1}-1$uₙ=2ⁿ⁺¹-1.

4. 4

   $2^{n+1}\to +\infty$2ⁿ⁺¹→+∞, donc $u_n\to +\infty$uₙ→+∞.

   De plus $u_{n+1}-u_n=2^{n+2}-2^{n+1}=2^{n+1}>0$uₙ₊₁-uₙ=2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹>0 : $(u_n)$(uₙ) est strictement croissante.

Rappel de cours : Une récurrence : initialisation (rang de départ), hérédité ($P(n)\Rightarrow P(n+1)$P(n)⇒ P(n+1)), conclusion. Pour une divisibilité, écrire l'hypothèse $a_n=3k$aₙ=3k et faire apparaître un facteur $3$3.