Recherche de seuil : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On cherche le plus petit $n$ n vérifiant $u_{n} \geq S$ uₙ ≥ S (ou $\leq S$ ≤ S). Pour une suite croissante vers la cible, on calcule les termes jusqu'à franchir le seuil.

Pour une suite géométrique, on peut résoudre l'inéquation (avec le logarithme en terminale).

Le seuil est un rang, pas une valeur : la réponse à « à partir de quand ? » est un entier $n$ n, pas un montant. C'est la confusion la plus fréquente.

Deux voies pour le déterminer : le calcul terme à terme, qui aboutit toujours, ou la résolution de l'inéquation à l'aide du logarithme pour une suite géométrique.

Exemple

Capital

u_{n} = 1000 \times 1, 0 5^{n}

uₙ = 1000× 1,05ⁿ : le plus petit

n

n avec

u_{n} \geq 1500

uₙ ≥ 1500 est

n = 9

n = 9 (

u_{9} \approx 1551

u₉ ≈ 1551).

Deuxième exemple

Un capital

u_{n} = 2000 \times 1, 0 3^{n}

uₙ = 2 000 × 1,03ⁿ doit dépasser

3000

3 000 € : on résout

1, 0 3^{n} \geq 1, 5

1,03ⁿ ≥ 1,5, soit

n \geq \frac{ln 1 , 5}{ln 1 , 03} \approx 13, 7

n ≥ (ln 1,5)/(ln 1,03) ≈ 13,7. Le seuil est donc

n = 14

n = 14.

Piège à éviter

Le seuil est le premier rang qui dépasse : vérifier que le précédent ne dépassait pas.

Questions fréquentes

Le seuil est-il un rang ou une valeur ?

Un rang : c'est le plus petit entier

n

n pour lequel la condition est remplie. La valeur

u_{n}

uₙ correspondante s'en déduit ensuite.

Pourquoi arrondir à l'entier supérieur ?

Parce qu'on cherche le premier rang qui franchit le seuil. Une valeur de

13, 7

13,7 signifie que le rang

13

13 ne suffit pas : c'est le rang

14

14.

Faut-il justifier que le rang précédent ne convient pas ?

Oui, c'est ce qui prouve la minimalité. On calcule les deux termes qui encadrent le seuil.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur suites en terminale

Raisonnement par récurrence, limites de suites, suites récurrentes et algorithmes de seuil.

Le cours

Suites : récurrence et limites — cours Terminale spé

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Annales Bac Spécialité Maths Terminale

Outils et pages dédiées

Algorithme de seuil en Python

Retrouve la notion complète : définitions, méthodes et exercices corrigés.

Le seuil d'une suite →