Équation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

La droite passant par $A (x_{A}; y_{A})$ A(x_A ;y_A) et de vecteur normal $n (a; b)$ vecteur n (a ;b) a pour équation $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0.

Cela vient du produit scalaire : un point $M (x; y)$ M(x ;y) est sur la droite si et seulement si $A M \cdot n = 0$ vecteur AM · vecteur n = 0. On développe ensuite pour obtenir la forme $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0.

L'équation traduit directement une condition d'orthogonalité : $M$ M est sur la droite si et seulement si $A M$ vecteur AM est perpendiculaire à $n$ vecteur n, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul.

C'est souvent la voie la plus rapide pour écrire l'équation d'une médiatrice ou d'une hauteur, où le vecteur normal est donné par la construction elle-même.

Exemple

Droite par

A (1; 2)

A(1 ;2) de normal

n (3; 4)

vecteur n (3 ;4) :

3 (x - 1) + 4 (y - 2) = 0

3(x - 1) + 4(y - 2) = 0, soit

3 x + 4 y - 11 = 0

3x + 4y - 11 = 0.

Deuxième exemple

Droite passant par

A (- 2; 5)

A(-2 ;5) et de vecteur normal

n (4; - 1)

vecteur n (4 ;-1) :

4 (x + 2) - 1 (y - 5) = 0

4(x+2) - 1(y-5) = 0, soit

4 x + 8 - y + 5 = 0

4x + 8 - y + 5 = 0, donc

4 x - y + 13 = 0

4x - y + 13 = 0.

Piège à éviter

Bien développer :

3 (x - 1) + 4 (y - 2) = 3 x - 3 + 4 y - 8 = 3 x + 4 y - 11

3(x-1) + 4(y-2) = 3x - 3 + 4y - 8 = 3x + 4y - 11.

Les autres formules de le vecteur normal à une droite

Vecteur normal et équation de droite →

d : a x + b y + c = 0 \Rightarrow n (a; b) est normal \overset{a}{ˋ} d

d : ax + by + c = 0 ⇒ vecteur n (a ;b) est normal à d

Questions fréquentes

Pourquoi cette méthode plutôt que le vecteur directeur ?

Parce que dans beaucoup de constructions — médiatrice, hauteur, tangente à un cercle — c'est le vecteur normal qui est connu en premier.

Comment écrire l'équation d'une médiatrice ?

On prend le milieu du segment comme point, et le vecteur reliant les deux extrémités comme vecteur normal.

Faut-il développer le résultat ?

Oui, pour obtenir la forme

a x + b y + c = 0

ax + by + c = 0 attendue, en surveillant les signes lors de la distribution.

Tout sur produit scalaire et géométrie en première

Produit scalaire dans le plan, vecteur normal, équations de droites et de cercles.

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