Relation de récurrence : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Connaissant $u_{0}$ u₀ et la fonction $f$ f, on calcule $u_{1} = f (u_{0})$ u₁ = f(u₀), $u_{2} = f (u_{1})$ u₂ = f(u₁), etc. On obtient les termes un par un.

Contrairement à une formule explicite, on ne peut pas calculer $u_{100}$ u₁₀₀ directement sans les précédents (sauf cas particuliers).

Une définition par récurrence fournit une machine à fabriquer les termes, pas une formule d'accès direct. Il faut donc deux informations : le premier terme, et la relation qui fait passer d'un terme au suivant.

C'est pour cela qu'on cherche parfois une forme explicite $u_{n} = f (n)$ uₙ = f(n), ou qu'on démontre une propriété par récurrence : les deux permettent d'atteindre un rang élevé sans calculer tous les précédents.

Exemple

u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}

uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2,

u_{0} = 0

u₀ = 0 :

u_{1} = 1, 5

u₁ = 1,5,

u_{2} = 2, 25

u₂ = 2,25,

u_{3} = 2, 625

u₃ = 2,625.

Deuxième exemple

u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3

uₙ₊₁ = 2uₙ - 3 avec

u_{0} = 5

u₀ = 5 :

u_{1} = 2 \times 5 - 3 = 7

u₁ = 2× 5 - 3 = 7,

u_{2} = 2 \times 7 - 3 = 11

u₂ = 2× 7 - 3 = 11,

u_{3} = 2 \times 11 - 3 = 19

u₃ = 2× 11 - 3 = 19.

Piège à éviter

On part du premier terme et on applique la relation pas à pas.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il absolument connaître le premier terme ?

Parce que la relation seule ne détermine pas la suite : la même récurrence avec

u_{0} = 0

u₀ = 0 ou

u_{0} = 5

u₀ = 5 engendre deux suites différentes.

Peut-on calculer directement le centième terme ?

Pas avec la seule relation de récurrence, il faudrait cent calculs. On cherche alors une expression explicite de

u_{n}

uₙ en fonction de

n

Une suite récurrente est-elle forcément arithmétique ou géométrique ?

Non.

u_{n + 1} = 2 u_{n} - 3

uₙ₊₁ = 2uₙ - 3 n'est ni l'une ni l'autre, même si un changement de variable permet de s'y ramener.

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