Les étapes

1
Reconnaître la forme
On regarde si la suite est une suite de référence, une suite géométrique $q^{n}$ qⁿ, ou un quotient de polynômes en $n$ n.
2
Transformer si nécessaire
Pour un quotient, on factorise ou on divise par le terme dominant pour faire apparaître des $\frac{1}{n}$ 1/n qui tendent vers $0$ 0.
3
Conclure avec les limites de référence
On remplace chaque morceau par sa limite connue et on conclut sur la limite de la suite.

Exemple corrigé

Déterminer la limite de $u_{n} = \frac{3 n + 1}{n}$ uₙ = (3n + 1)/n.

1.On sépare le quotient : $u_{n} = \frac{3 n}{n} + \frac{1}{n} = 3 + \frac{1}{n}$ uₙ = 3n/n + 1/n = 3 + 1/n.
2.Or $\frac{1}{n} \to 0$ 1/n → 0 quand $n \to + \infty$ n → +∞.
3.Donc $u_{n} \to 3 + 0 = 3$ uₙ → 3 + 0 = 3 : la suite converge vers $3$ 3.

Résultat :

lim_{n \to + \infty} u_{n} = 3

lim_n→+∞ uₙ = 3.

Une forme

\frac{\infty}{\infty}

∞/∞ est indéterminée : il faut transformer (factoriser, diviser) avant de conclure.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Raisonnement par récurrence, limites de suites, suites récurrentes et algorithmes de seuil.

Définitions, formules et exercices corrigés sur la même notion :