Les étapes pour démontrer par récurrence

1
Initialisation
On énonce la propriété $P (n)$ P(n), puis on vérifie qu'elle est vraie au premier rang $n_{0}$ n₀ (calcul des deux côtés).
2
Hérédité
On suppose $P (n)$ P(n) vraie pour un $n$ n fixé (hypothèse), et on démontre $P (n + 1)$ P(n+1) en s'appuyant sur cette hypothèse.
3
Conclusion
On conclut par le principe de récurrence : $P (n)$ P(n) est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ n ≥ n₀.

Exemple corrigé : démontrer par récurrence

Démontrer que pour tout entier $n \geq 1$ n ≥ 1, $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 1 + 2 + … + n = (n(n+1))/2.

1.Initialisation ( $n = 1$ n = 1) : à gauche $1$ 1, à droite $\frac{1 \times 2}{2} = 1$ (1× 2)/2 = 1. $P (1)$ P(1) est vraie.
2.Hérédité : on suppose $1 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 1 + … + n = (n(n+1))/2. Alors $1 + \dots + n + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) + 2 ( n + 1 )}{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ 1 + … + n + (n+1) = (n(n+1))/2 + (n+1) = (n(n+1) + 2(n+1))/2 = ((n+1)(n+2))/2.
3.C'est bien $P (n + 1)$ P(n+1). Conclusion : par récurrence, la formule est vraie pour tout $n \geq 1$ n ≥ 1.

Résultat :

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

1 + 2 + … + n = (n(n+1))/2 pour tout

n \geq 1

n ≥ 1.

Toujours rédiger les trois étapes, et bien faire apparaître l'hypothèse de récurrence dans l'hérédité.

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