Questions de cours · 11 notions

Statistiques et probabilités : les questions de cours du brevet

Moyenne, médiane, étendue, événement contraire, équiprobabilité : le vocabulaire exact pour les exercices les plus prévisibles du brevet.

1. Effectif et fréquence
Qu'est-ce que l'effectif et la fréquence d'une valeur ?
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît dans la série ; l'effectif total est le nombre de données. La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total : c'est un nombre entre 0 et 1, que l'on peut écrire en pourcentage.
Exemple. 4 « pile » sur 10 lancers : fréquence $\frac{4}{10} = 0, 4 = 40 %$ 4/10=0,4=40 %.
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2. Moyenne
Comment calcule-t-on la moyenne d'une série statistique ?
La moyenne d'une série est le quotient de la somme des valeurs par l'effectif total. Quand les valeurs sont données avec leurs effectifs, on calcule la moyenne pondérée : $\frac{somme des (valeur \times effectif)}{effectif total}$ (somme des (valeur × effectif))/(effectif total).
Exemple. Notes $8; 10; 11; 11$ 8 ; 10 ; 11 ; 11 : moyenne $\frac{40}{4} = 10$ 40/4=10.
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3. Médiane
Donner la définition de la médiane d'une série statistique.
La médiane d'une série statistique rangée dans l'ordre croissant est une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Exemple. Pour $n$ n valeurs rangées : si $n$ n est impair, c'est la valeur de rang $\frac{n + 1}{2}$ (n+1)/2 ; si $n$ n est pair, c'est la moyenne des valeurs de rangs $\frac{n}{2}$ n/2 et $\frac{n}{2} + 1$ n/2+1.
Piège. On range toujours la série avant de chercher la médiane, et on ne la confond pas avec la moyenne.
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4. Étendue
Donner la définition de l'étendue d'une série statistique.
L'étendue d'une série statistique est la différence entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur. C'est un indicateur de dispersion : plus elle est grande, plus les valeurs sont éloignées les unes des autres.
Exemple. Salaires de $1480$ 1 480 € à $3880$ 3 880 € : étendue $3880 - 1480 = 2400$ 3 880-1 480=2 400 €.
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5. Diagramme circulaire
Comment calcule-t-on l'angle d'un secteur dans un diagramme circulaire ?
L'angle d'un secteur est proportionnel à l'effectif : angle $=$ = fréquence $\times 36 0^{\circ}$ ×360°.
Exemple. Une catégorie qui représente $\frac{1}{4}$ 1/4 de l'effectif correspond à un angle droit ( $9 0^{\circ}$ 90°).
6. Expérience aléatoire, issue, événement
Définir une expérience aléatoire, une issue et un événement.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir à l'avance le résultat. Chaque résultat possible est une issue. Un événement est une condition qui peut être réalisée ou non ; il est réalisé par certaines issues.
Exemple. Lancer un dé à 6 faces : 6 issues. L'événement « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues $2$ 2, $4$ 4 et $6$ 6.
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7. Probabilité d'un événement
Quelles sont les propriétés d'une probabilité ?
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre $0$ 0 et $1$ 1. La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience est égale à $1$ 1. Un événement impossible a une probabilité égale à $0$ 0, un événement certain une probabilité égale à $1$ 1.
Exemple. Une probabilité peut s'écrire sous forme fractionnaire (1/4), décimale (0,25) ou en pourcentage (25 %).
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8. Équiprobabilité
Dans une situation d'équiprobabilité, comment calcule-t-on la probabilité d'un événement ?
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité (situation d'équiprobabilité), $P (A) = \frac{nombre d’issues favorables a ˋ A}{nombre total d’issues}$ P(A)=(nombre d'issues favorables à A)/(nombre total d'issues).
Exemple. Urne de $10$ 10 rouges, $6$ 6 noires, $4$ 4 jaunes : $P (rouge) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ P( rouge )=10/20=1/2.
Piège. Justifier l'équiprobabilité dans la rédaction : « les boules sont indiscernables au toucher », « le dé est équilibré ».
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9. Événement contraire
Donner la définition de l'événement contraire et sa probabilité.
L'événement contraire d'un événement $A$ A, noté $\overline{A}$ A̅ (« non $A$ A »), est l'événement qui est réalisé exactement quand $A$ A ne l'est pas. On a $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ P(A̅)=1-P(A).
Exemple. Le contraire de « la boule est rouge » est « la boule n'est pas rouge » : $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 1-1/2=1/2.
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10. Événements incompatibles
Quand deux événements sont-ils incompatibles ?
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. Dans ce cas, $P (A ou B) = P (A) + P (B)$ P(A ou B)=P(A)+P(B).
Exemple. « Obtenir 2 » et « obtenir un nombre impair » sont incompatibles avec un dé.
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11. Fréquence et probabilité
Quel lien y a-t-il entre la fréquence observée et la probabilité ?
Quand on répète un grand nombre de fois une même expérience aléatoire, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. Sur un petit nombre d'essais, la fréquence peut s'en éloigner : c'est la fluctuation.
Exemple. Sur $100$ 100 lancers, « Voici le dessin » apparaît $40$ 40 fois ( $0, 4$ 0,4) alors que la probabilité est $\frac{1}{3} \approx 0, 33$ 1/3≈0,33 : l'écart vient du petit nombre d'essais.
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