Fonctions et proportionnalité : les questions de cours du brevet
Image, antécédent, fonction linéaire et affine, pourcentages, ratio : les définitions qui reviennent dans presque chaque sujet de brevet.
1. Fonction
Qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction f est un procédé qui, à un nombre x, associe un unique nombre, noté f(x). On écrit f:xlongmapsto f(x). Une fonction peut être donnée par une expression, un tableau de valeurs, une représentation graphique ou un programme de calcul.Exemple. f:xlongmapsto x²+4x-5 associe à 1 le nombre f(1)=0.
2. Image d'un nombre
Donner la définition de l'image d'un nombre par une fonction.
L'image d'un nombre x par une fonction f est le nombre f(x) que la fonction associe à x. Un nombre a une seule image.Exemple. Si g(x)=10x+60, l'image de 12 par g est g(12)=180.
3. Antécédent d'un nombre
Donner la définition d'un antécédent d'un nombre a par une fonction f.
Un antécédent d'un nombre a par la fonction f est un nombre x dont l'image par f est égale à a, c'est-à-dire un nombre x tel que f(x)=a.Exemple. Si f(x)=x²+4x-5, les antécédents de -5 sont 0 et -4 car f(0)=f(-4)=-5.
Piège. Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents. Pour les trouver, on résout l'équation f(x) = a.
4. Représentation graphique
Qu'est-ce que la représentation graphique d'une fonction ?
Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Un point M(a ; b) appartient à la courbe si et seulement si f(a)=b.Exemple. On lit l'image d'un nombre sur l'axe des ordonnées (à partir de l'abscisse), un antécédent sur l'axe des abscisses (à partir de l'ordonnée).
5. Fonction linéaire
Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ? Comment est sa représentation graphique ?
Une fonction linéaire est une fonction de la forme xlongmapsto ax, où a est un nombre fixé (le coefficient). Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. Elle modélise une situation de proportionnalité.Exemple. Le prix de x kg de pommes à 2,40 € le kilo : xlongmapsto2,4x.
6. Fonction affine
Qu'est-ce qu'une fonction affine ? Que représentent a et b ?
Une fonction affine est une fonction de la forme xlongmapsto ax+b, où a et b sont des nombres fixés. Sa représentation graphique est une droite : b est l'ordonnée à l'origine (la droite passe par (0 ; b)) et a est le coefficient directeur. Si b=0, la fonction est linéaire ; si a=0, elle est constante.Exemple. g(x)=10x+60 : droite qui coupe l'axe des ordonnées en 60 et monte de 10 quand x augmente de 1.
7. Coefficient directeur
Comment calcule-t-on le coefficient a d'une fonction affine à partir de deux valeurs ?
Si f(x)=ax+b, pour deux nombres distincts x₁ et x₂ : a=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁). Les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x.Exemple. Droite passant par (0 ; 4) et (2 ; 0) : a=(0-4)/(2-0)=-2, donc f(x)=-2x+4.
8. Proportionnalité
Quand deux grandeurs sont-elles proportionnelles ?
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité. Graphiquement, la situation est représentée par des points alignés avec l'origine du repère.Piège. Une droite qui ne passe pas par l'origine (abonnement + prix à l'unité) ne représente pas une situation de proportionnalité.
9. Quatrième proportionnelle
Comment calcule-t-on une quatrième proportionnelle ?
Si a et b sont proportionnels à c et x (c'est-à-dire a/b=c/x), alors a× x=b× c (égalité des produits en croix) et x=(b× c)/a. On peut aussi passer par l'unité ou par le coefficient de proportionnalité.Exemple. 3 melons coûtent 8,40 € ; 5 melons coûtent 5×8,40/3=14 €.
10. Appliquer un pourcentage
Comment calcule-t-on t % d'une quantité ?
Prendre t % d'une quantité Q, c'est calculer t/100× Q.Exemple. 25 % de 800 élèves : 25/100×800=200 élèves.
11. Coefficient multiplicateur
Par quel nombre multiplie-t-on pour augmenter (ou diminuer) une valeur de t % ?
Augmenter une valeur de t % revient à la multiplier par 1+t/100 ; la diminuer de t % revient à la multiplier par 1-t/100. Ce nombre est le coefficient multiplicateur.Exemple. Hausse de 20 % : ×1,2 ; baisse de 15 % : ×0,85.
Piège. Deux hausses successives de 10 % ne font pas +20 % : 1,1×1,1=1,21, soit +21 %.
12. Taux d'évolution
Comment calcule-t-on un taux d'évolution (pourcentage d'augmentation ou de baisse) ?
Le taux d'évolution d'une valeur de départ V_D à une valeur d'arrivée V_A est t=(V_A-V_D)/V_D, que l'on exprime en pourcentage.Exemple. De 20 à 26 médailles : (26-20)/20=0,3, soit +30 %.
Piège. On divise toujours par la valeur de départ.
13. Ratio
Que signifie « deux nombres sont dans le ratio 2 : 3 » ?
Deux nombres a et b sont dans le ratio 2:3 si a/2=b/3. De même, a, b et c sont dans le ratio 2:3:7 si a/2=b/3=c/7. Un ratio ne change pas si l'on multiplie (ou divise) tous ses termes par un même nombre non nul.Exemple. Partager 50 € dans le ratio 2:3 : 5 parts de 10 €, soit 20 € et 30 €.
14. Échelle
Qu'est-ce que l'échelle d'un plan ou d'une carte ?
L'échelle est le coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur le plan et les longueurs réelles, exprimées dans la même unité : échelle = longueur sur le plan ÷ longueur réelle.Exemple. À l'échelle 1/20, 7 cm sur la maquette représentent 7×20=140 cm en réalité.
Se tester avec les cartes
Carte 1 sur 14
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